2025年考研数学（三）模拟冲刺卷：复变函数与积分变换试题精选
一、复变函数部分
1.设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量x和y的函数。已知f(z)在z=z0处解析，且u(x,y)和v(x,y)在z=z0处连续。试证明：f(z)在z=z0处可微。
a)证明f(z)在z=z0处可微。
b)求f(z)在z=z0处的导数。
2.设函数f(z)=e^(z^2)，其中z是复数。求f(z)的解析域和奇点。
a)确定f(z)的解析域。
b)求f(z)的奇点。
3.设函数f(z)=sin(z)+cos(z)，其中z是复数。求f(z)的解析域和奇点。
a)确定f(z)的解析域。
b)求f(z)的奇点。
二、积分变换部分
1.设函数f(t)=t^2e^(-2t)，其中t是实变量。求f(t)的拉普拉斯变换F(s)。
a)求f(t)的拉普拉斯变换F(s)。
b)求F(s)的逆变换f(t)。
2.设函数f(t)=e^(-t)sin(2t)，其中t是实变量。求f(t)的傅里叶变换F(k)。
a)求f(t)的傅里叶变换F(k)。
b)求F(k)的逆变换f(t)。
3.设函数f(x)=x^3，其中x是实变量。求f(x)的傅里叶变换F(k)。
a)求f(x)的傅里叶变换F(k)。
b)求F(k)的逆变换f(x)。
四、复变函数的应用
要求：根据下列条件，求解复变函数的问题。
1.设函数f(z)=z^3-3z，其中z是复数。求f(z)的零点，并给出每个零点的模和辐角。
2.设函数f(z)=e^(z^2)-1，其中z是复数。求f(z)的导数f(z)。
3.设函数f(z)=sin(z)/(z-1)，其中z是复数。求f(z)在z=1处的留数。
五、积分变换的应用
要求：根据下列条件，求解积分变换的问题。
1.设函数f(t)=t^2e^(-t)，其中t是实变量。求f(t)的拉普拉斯变换F(s)。
2.设函数f(t)=e^(-t)sin(2t)，其中t是实变量。求f(t)的傅里叶变换F(k)。
3.设函数f(x)=x^3，其中x是实变量。求f(x)的傅里叶变换F(k)。
六、复变函数与积分变换的综合应用
要求：结合复变函数与积分变换的知识，解决下列问题。
1.设函数f(z)=z^2e^(-z)，其中z是复数。求f(z)的傅里叶变换F(k)。
2.设函数f(t)=e^(-t)sin(2t)，其中t是实变量。求f(t)的拉普拉斯变换F(s)。
3.设函数f(x)=x^3，其中x是实变量。求f(x)在x=0处的傅里叶变换F(k)。
本次试卷答案如下：
一、复变函数部分
1.
a)解析：
由于f(z)在z=z0处解析，根据解析函数的柯西-黎曼方程，我们有：
u_x(z0)=v_y(z0)和u_y(z0)=-v_x(z0)。
由于u(x,y)和v(x,y)在z=z0处连续，我们可以计算f(z)在z=z0处的导数：
f(z0)=lim_{z→z0}[f(z)-f(z0)]/(z-z0)=lim_{z→z0}[(u(x,y)+iv(x,y))-(u(x0,y0)+iv(x0,y0))]/(z-z0)
=lim_{z→z0}[u(x,y)-u(x0,y0)+i(v(x,y)-v(x0,y0))]/(z-z0)
=lim_{z→z0}[(u(x,y)-u(x0,y0)+i(v(x,y)-v(x0,y0)))]/[(x-x0)+i(y-y0)]
=lim_{z→z0}[(u(x,y)-u(x0,y0))/(x-x0)+i(v(x,y)-v(x0,y0))/(y-y0)]
=u_x(z0)+iv_x(z0)=v_y(z0)+i(-u_x(z0))。
因此，f(z)在z=z0处可微。
b)解析：
由于已经证明了f(z)在z=z0处可微，且根据复变函数的导数定义，我们知道f(z0)=u_x(z0)+iv_x(z0)。根据柯西-黎曼方程，我们有u_x(z0)=v_y(z0)和u_y(z0)=-v_x(z0)，因此f(z0)=v_y(z0)-u_x(z0)。
2.
a)解析：
f(z)=e^(z^2)是指数函数的复合，其解析域是整个复平面C。
b)解析：
f(z)=e^(z^2)的奇点是其分母为零的点，但由于e^(z^2)的分母neverbecomeszero，因此f