2025年考研数学（三）概率统计难题解析与实战卷
一、选择题（每题5分，共25分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则EX的值是：
A.1
B.λ
C.1/λ
D.1/λ^2
2.设随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y服从参数为1的指数分布，则XY的概率密度函数是：
A.e^(-x-y)
B.e^(-x)*e^(-y)
C.e^(-x-y)/√2π
D.e^(-x)/√2π
3.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=kx^2y^2，其中k为常数，则k的值是：
A.1
B.1/2
C.1/3
D.1/6
4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则P(X3)的值是：
A.1/3
B.1/2
C.1/4
D.1/6
5.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=1/2，当x+y≤1，0x1，0y1，其他情况下f(x,y)=0，则P(XY)的值是：
A.1/2
B.3/4
C.1/4
D.1/3
二、填空题（每题5分，共25分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则EX^2的值是______。
2.设随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y服从参数为1的指数分布，则P(X+Y≤2)的值是______。
3.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=kx^2y^2，其中k为常数，则k的值是______。
4.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则P(X≤4)的值是______。
5.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=1/2，当x+y≤1，0x1，0y1，其他情况下f(x,y)=0，则P(XY)的值是______。
三、解答题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布，求XY的概率密度函数。
2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=kx^2y^2，其中k为常数，求k的值。
四、计算题（每题10分，共20分）
1.设随机变量X～N(μ,σ^2)，求P(μ-σXμ+σ)的值。
2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为f(x,y)=e^(-x-y)，当x0,y0，其他情况下f(x,y)=0，求随机变量Z=X+Y的概率密度函数。
五、应用题（每题10分，共20分）
1.某工厂生产的产品，其重量X服从均值为50千克，标准差为2千克的正态分布。求该工厂生产的产品重量在48千克至52千克之间的概率。
2.在一次考试中，随机变量X表示学生的得分，X服从均值为70分，标准差为10分的正态分布。求该考试中得分超过80分的学生所占的比例。
六、证明题（每题10分，共20分）
1.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X和Y都服从标准正态分布，则Z=X+Y服从正态分布，并求出其均值和方差。
2.证明：若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其概率质量函数P(X=k)关于k=λ/2对称。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B.λ
解析：泊松分布的期望值等于其参数λ。
2.A.e^(-x-y)
解析：由于X和Y相互独立，它们的概率密度函数乘积即为联合概率密度函数。
3.C.1/3
解析：由于f(x,y)是x^2y^2的函数，其积分应为1，因此kx^2y^2的积分也应为1，得到k=1/(3∫∫x^2y^2dxdy)。
4.C.1/4
解析：指数分布的累积分布函数为1-e^(-λx)，因此P(X≤4)=1-e^(-2*4)=1-e^(-8)。
5.D.1/3
解析：通过积分计算，我们可以找到P(XY)的值。由于f(x,y)在第一象限内，我们需要在第一象限内积分f(x,y)，并计算其面积。
二、填空题
1.λ^2+λ
解析：泊松分布的方差等于其参数λ，因此E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2。
2.e^(-3)
解析：由于X和Y独立，我们可以分别计算它们的累积分布函数，然后相乘得到联合累积分布函数。
3.1/3
解析：由f(x,y)=kx^2y^2的积分得到k=1/(3∫∫x^2y^2dxdy)。
4.1-e^(-8)
解析：与选择题第4题相同，计算指数分布的累积分布函数。
5.1/3
解析：通过积分计算，我们可以找到P(XY)的值，与选择题第5题类似。
三、解答题
1.解析：由于X和Y独立，它们的联合概率密度函数为f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=λe^(-λx)*μe^(-μy)。
2.解析：Z=X+Y的概