2025年考研数学（三）概率统计专项卷：概率论与数理统计综合试题解析与备考
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)等于（）。
A.0
B.1
C.λ
D.1/λ
2.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则P{X0,Y0}等于（）。
A.1/4
B.1/2
C.3/4
D.1
3.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P{|X-μ|≤σ}等于（）。
A.1/2
B.3/4
C.1
D.1/4
4.设随机变量X～B(n,p)，则E(X)等于（）。
A.np
B.n(1-p)
C.p/n
D.1/n
5.设随机变量X～U(a,b)，则E(X)等于（）。
A.(a+b)/2
B.a
C.b
D.(a+b)/4
6.设随机变量X～χ^2(n)，则P{X≤n}等于（）。
A.1/2
B.1
C.1/√2
D.1/2√2
7.设随机变量X～F(n1,n2)，则P{X≤1}等于（）。
A.1
B.1/2
C.1/√2
D.1/2√2
8.设随机变量X～T(n)，则P{X≤0}等于（）。
A.1/2
B.1
C.1/√2
D.1/2√2
9.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P{μ-σ≤X≤μ+σ}等于（）。
A.1/2
B.3/4
C.1
D.1/4
10.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P{|X-μ|≤2σ}等于（）。
A.1/2
B.3/4
C.1
D.1/4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.设随机变量X～N(0,1)，则P{X≤0.5}等于__________。
12.设随机变量X～B(n,p)，则当n=10，p=0.5时，E(X)等于__________。
13.设随机变量X～U(0,1)，则P{X≤0.5}等于__________。
14.设随机变量X～χ^2(5)，则P{X≤10}等于__________。
15.设随机变量X～T(10)，则P{X≤0}等于__________。
三、解答题（本大题共2小题，共25分）
16.（10分）设随机变量X～N(μ,σ^2)，求P{Xμ+2σ}。
17.（15分）设随机变量X和Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，求P{X+Yμ1+μ2}。
四、计算题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
16.（10分）已知随机变量X～B(5,0.4)，求P{X≥3}。
17.（10分）已知随机变量X～U(1,3)，求P{2≤X≤2.5}。
五、证明题（本大题共1小题，共10分）
18.（10分）证明：如果随机变量X和Y相互独立，那么E(XY)=E(X)E(Y)。
六、综合应用题（本大题共1小题，共10分）
19.（10分）某城市每年发生交通事故的概率为0.02，求在5年内至少发生一次交通事故的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.C
解析：泊松分布的期望E(X)等于其参数λ。
2.A
解析：由于X和Y都服从标准正态分布，它们都大于0的概率是1/4。
3.B
解析：标准正态分布的对称性，P{|X-μ|≤σ}=P{-σ≤X-μ≤σ}=P{X-μ≤σ}-P{X-μ≤-σ}=1/2-1/2=1/2。
4.A
解析：二项分布的期望E(X)=np。
5.A
解析：均匀分布的期望E(X)=(a+b)/2。
6.B
解析：卡方分布的累积分布函数在X≤n时的值为1。
7.A
解析：F分布的累积分布函数在X≤1时的值为1。
8.A
解析：t分布的累积分布函数在X≤0时的值为1/2。
9.B
解析：正态分布的对称性，P{μ-σ≤X≤μ+σ}=P{X≤μ+σ}-P{X≤μ-σ}=1/2-1/2=3/4。
10.C
解析：正态分布的对称性，P{|X-μ|≤2σ}=P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}=P{X≤μ+2σ}-P{X≤μ-2σ}=1-1/4=3/4。
二、填空题
11.0.6915
解析：标准正态分布的累积分布函数在X≤0.5时的值为0.6915。
12.5
解析：二项分布的期望E(X)=np=10*0.5=5。
13.0.5
解析：均匀分布的累积分布函数在X≤0.5时的值为0.5。
14.0.9544
解析：卡方分布的累积分布函数在X≤10时的值为0.9544。
15.0.5
解析：t分布的累积分布函数在X≤0时的值为0.5。
三、解答题
16.解析：P{Xμ+2σ}=1-P{