2025年考研数学（三）微积分综合训练卷：微积分高级应用题解析
一、函数极限与连续性
要求：判断下列函数在给定点处是否存在极限，若存在，求出极限值；若不存在，说明理由。
1.判断函数\(f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x-8}\)在\(x=2\)处的极限是否存在，若存在，求出极限值。
2.判断函数\(f(x)=\begin{cases}
x^2\text{if}x\neq0\\
1\text{if}x=0
\end{cases}\)在\(x=0\)处的极限是否存在，若存在，求出极限值。
3.设函数\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)，判断函数在\(x=2\)处的极限是否存在，若存在，求出极限值。
4.已知函数\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)，判断函数在\(x=0\)处的极限是否存在，若存在，求出极限值。
5.判断函数\(f(x)=\begin{cases}
x\text{if}x0\\
x^2\text{if}x\geq0
\end{cases}\)在\(x=0\)处的极限是否存在，若存在，求出极限值。
二、一元函数微分学
要求：求出下列函数的导数，并化简。
1.求函数\(f(x)=\frac{x^3-3x^2+2x-1}{x^2-1}\)的导数。
2.求函数\(f(x)=\sqrt[3]{x^2-4}\)的导数。
3.求函数\(f(x)=e^{x^2-2x}\)的导数。
4.求函数\(f(x)=\ln(x^3-1)\)的导数。
5.求函数\(f(x)=\arcsin(2x-1)\)的导数。
三、一元函数积分学
要求：求出下列函数的原函数。
1.求函数\(f(x)=x^2-3x+2\)的原函数。
2.求函数\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)的原函数。
3.求函数\(f(x)=e^x\sinx\)的原函数。
4.求函数\(f(x)=\ln(2x-1)\)的原函数。
5.求函数\(f(x)=\arctanx\)的原函数。
四、多元函数微分学
要求：求出下列多元函数在指定点的偏导数。
1.求函数\(f(x,y)=x^2e^{y^2}\)在点\((1,0)\)处的偏导数\(f_x\)和\(f_y\)。
2.求函数\(g(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)在点\((0,1)\)处的偏导数\(g_x\)和\(g_y\)。
3.求函数\(h(x,y)=\frac{x^3y^2}{x^2+y^3}\)在点\((2,-1)\)处的偏导数\(h_x\)和\(h_y\)。
4.求函数\(k(x,y)=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)在点\((1,1)\)处的偏导数\(k_x\)和\(k_y\)。
5.求函数\(l(x,y)=e^{x+y}\)在点\((0,0)\)处的偏导数\(l_x\)和\(l_y\)。
五、多元函数积分学
要求：计算下列二重积分。
1.计算积分\(\iint_D(x^2+y^2)\,dA\)，其中积分区域\(D\)是由曲线\(x^2+y^2=1\)所围成的圆盘。
2.计算积分\(\iint_D(x+y)\,dA\)，其中积分区域\(D\)是由直线\(y=x\)和\(y=2x\)以及\(x=0\)和\(x=2\)所围成的矩形区域。
3.计算积分\(\iint_D(e^x+e^y)\,dA\)，其中积分区域\(D\)是由直线\(y=x\)和\(y=2x\)以及\(x=0\)和\(x=1\)所围成的三角形区域。
4.计算积分\(\iint_D(\sinx\cosy)\,dA\)，其中积分区域\(D\)是由曲线\(y=x^2\)和\(y=x\)以及\(x=0\)和\(x=\f