2025年考研数学（三）微积分综合训练卷：微积分在物理学中的解题技巧
一、一元函数微分学
要求：熟练掌握一元函数微分学的概念、法则和运用，能够解决实际问题。
1.已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f(x)，f(x)。
2.求函数f(x)=e^x-sinx在x=0处的导数。
3.已知函数f(x)=ln(x+1)，求f(x)，f(x)。
4.求函数f(x)=x^2/(1+x^2)的导数。
5.求函数f(x)=(1-x)/(1+x)的导数。
6.求函数f(x)=x/(1+x^2)的导数。
二、一元函数积分学
要求：熟练掌握一元函数积分学的概念、法则和运用，能够解决实际问题。
1.求不定积分∫(x^2-2x+1)dx。
2.求不定积分∫(sinx+cosx)dx。
3.求不定积分∫(e^x)dx。
4.求不定积分∫(lnx)dx。
5.求不定积分∫(1/(1+x^2))dx。
6.求不定积分∫(1/x)dx。
三、多元函数微分学
要求：熟练掌握多元函数微分学的概念、法则和运用，能够解决实际问题。
1.已知函数f(x,y)=x^2+y^2-2xy，求f_x(x,y)，f_y(x,y)。
2.求函数f(x,y)=x^2y+y^2x在点(1,1)处的偏导数。
3.已知函数f(x,y)=e^(x+y)，求f_x(x,y)，f_y(x,y)。
4.求函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)的偏导数。
5.求函数f(x,y)=x^3y^2+y^3x^2的偏导数。
6.求函数f(x,y)=arctan(x/y)的偏导数。
四、多元函数积分学
要求：熟练掌握多元函数积分学的概念、法则和运用，能够解决实际问题。
1.求二重积分?(x^2+y^2)dxdy，其中D是由直线y=x，y=2x，x=1所围成的区域。
2.求二重积分?(e^x+e^y)dxdy，其中D是由直线y=x，y=2x，x=1所围成的区域。
3.求三重积分?(x^2+y^2+z^2)dxdydz，其中V是由平面x=1，y=1，z=1所围成的区域。
4.求三重积分?(ln(x+y+z))dxdydz，其中V是由平面x=1，y=1，z=1所围成的区域。
5.求二重积分?(x^2y+y^2x)dxdy，其中D是由直线y=x，y=2x，x=1所围成的区域。
6.求三重积分?(x^3y^2+y^3x^2)dxdydz，其中V是由平面x=1，y=1，z=1所围成的区域。
五、常微分方程
要求：熟练掌握常微分方程的概念、解法和运用，能够解决实际问题。
1.求微分方程dy/dx=y^2的通解。
2.求微分方程dy/dx=2xy的通解。
3.求微分方程dy/dx=e^x的通解。
4.求微分方程dy/dx=2y的通解。
5.求微分方程dy/dx=x^2y的通解。
6.求微分方程dy/dx=e^(-y)的通解。
六、偏微分方程
要求：熟练掌握偏微分方程的概念、解法和运用，能够解决实际问题。
1.求偏微分方程?^2u=0的通解。
2.求偏微分方程?^2u=x^2的通解。
3.求偏微分方程?^2u=y^2的通解。
4.求偏微分方程?^2u=x^2+y^2的通解。
5.求偏微分方程?^2u=e^x+e^y的通解。
6.求偏微分方程?^2u=x^2y+y^2x的通解。
四、一元函数积分学的应用
要求：能够运用一元函数积分解决实际问题，包括计算定积分、求解变限积分和积分的应用。
1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求∫[0,3]f(x)dx。
2.已知函数f(x)=2x-3，求∫[1,4](2x-3)dx。
3.已知函数f(x)=e^x，求∫[0,ln2]e^xdx。
4.已知函数f(x)=1/(x^2+1)，求∫[0,π]1/(x^2+1)dx。
5.已知函数f(x)=x^2，求∫[1,2](x^2)dx。
6.已知函数f(x)=ln(x)，求∫[e,e^2]ln(x)dx。
五、多元函数积分学的应用
要求：能够运用多元函数积分解决实际问题，包括计算二重积分和三重积分。
1.求二重积分?[0,1]∫[0,x](2y+1)dydx，其中D是由直线y=x，y=1，