2025年考研数学（三）微积分综合训练卷：多元函数微分学综合解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设函数f(x,y)=x^2y+3xy^2，则f(0,0)的偏导数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
2.已知函数f(x,y)=x^2y+y^2x，则f(1,1)的偏导数是：
A.2
B.3
C.4
D.5
3.设函数f(x,y)=e^(x+y)，则f(0,0)的偏导数是：
A.1
B.e
C.e^2
D.e^3
4.设函数f(x,y)=sin(x^2+y^2)，则f(0,0)的偏导数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
5.设函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)，则f(1,1)的偏导数是：
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设函数f(x,y)=x^3y^2，则f(0,0)的偏导数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
7.设函数f(x,y)=x^2+y^2，则f(1,1)的偏导数是：
A.2
B.3
C.4
D.5
8.设函数f(x,y)=e^x*e^y，则f(0,0)的偏导数是：
A.1
B.e
C.e^2
D.e^3
9.设函数f(x,y)=sin(x)*cos(y)，则f(0,0)的偏导数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
10.设函数f(x,y)=x^2*y^2，则f(0,0)的偏导数是：
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1.设函数f(x,y)=e^(x+y)，则f(0,0)的一阶偏导数是__________，二阶偏导数是__________。
2.设函数f(x,y)=x^2+y^2，则f(1,1)的一阶偏导数是__________，二阶偏导数是__________。
3.设函数f(x,y)=e^x*e^y，则f(0,0)的一阶偏导数是__________，二阶偏导数是__________。
4.设函数f(x,y)=sin(x)*cos(y)，则f(0,0)的一阶偏导数是__________，二阶偏导数是__________。
5.设函数f(x,y)=x^2*y^2，则f(0,0)的一阶偏导数是__________，二阶偏导数是__________。
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
1.设函数f(x,y)=e^(x+y)，求f(0,0)的一阶偏导数和二阶偏导数。
2.设函数f(x,y)=x^2+y^2，求f(1,1)的一阶偏导数和二阶偏导数。
3.设函数f(x,y)=e^x*e^y，求f(0,0)的一阶偏导数和二阶偏导数。
4.设函数f(x,y)=sin(x)*cos(y)，求f(0,0)的一阶偏导数和二阶偏导数。
5.设函数f(x,y)=x^2*y^2，求f(0,0)的一阶偏导数和二阶偏导数。
四、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
4.设函数f(x,y)=x^3-3xy^2，求在点(1,1)处的全微分df(1,1)。
五、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
5.证明：若函数f(x,y)在点(a,b)处可微，则f(x,y)在该点的全微分存在，并且等于f(x,y)在该点的偏导数与增量Δx和Δy的乘积之和。
六、应用题（本大题共1小题，共10分）
6.已知函数f(x,y)=x^2y+y^2x，求函数在点(2,3)处的切平面方程。
本次试卷答案如下：
一、选择题答案：
1.A
2.A
3.B
4.A
5.A
6.B
7.A
8.B
9.A
10.A
解析：
1.函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数是0，因为f(x,y)=x^2y+3xy^2，在(0,0)处，x和y都为0，所以偏导数为0。
2.函数f(x,y)在点(1,1)的偏导数是2，因为f(x,y)=x^2y+y^2x，在(1,1)处，偏导数f_x(1,1)=2*1*1+1*2*1=2+2=4，f_y(1,1)=1*1+2*1*1=1+2=3，所以偏导数为2。
3.函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数是1，因为f(x,y)=e^(x+y)，在(0,0)处，偏导数f_x(0,0)=e^(0+0)=e^0=1，f_y(0,0)=e^(0+0)=e^0=1，所以偏导数为1。
4.函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数是0，因为f(x,y)=sin(