2025年考研数学（三）微积分综合测试卷：微积分在地球科学中的应用题
一、一元函数微分学在地质勘探中的应用
要求：运用一元函数微分学的知识，解决以下地质勘探问题。
1.设某地区地下某深度h处的石油密度ρ（单位：吨/立方米）与深度h（单位：米）的关系为ρ=0.8+0.2h，求该地区地下深度为10米处的石油密度。
2.某石油钻井的深度随时间t（单位：小时）的变化关系为h=10+0.5t，求在钻井过程中，钻井深度增加的速度。
3.某地质勘探队在某地区钻探时，发现石油密度ρ（单位：吨/立方米）随深度h（单位：米）的变化关系为ρ=0.8+0.2h，求在深度为5米到10米之间，石油密度的平均变化率。
4.某地质勘探队在某地区钻探时，发现石油密度ρ（单位：吨/立方米）随深度h（单位：米）的变化关系为ρ=0.8+0.2h，求在深度为5米处，石油密度的瞬时变化率。
二、一元函数积分学在地球科学中的应用
要求：运用一元函数积分学的知识，解决以下地球科学问题。
1.某地区地下某深度h处的石油密度ρ（单位：吨/立方米）与深度h（单位：米）的关系为ρ=0.8+0.2h，求在深度为0米到10米之间，该地区地下石油的总质量。
2.某地质勘探队在某地区钻探时，钻井深度随时间t（单位：小时）的变化关系为h=10+0.5t，求在钻井过程中，钻井深度的总增加量。
3.某地区地下某深度h处的石油密度ρ（单位：吨/立方米）与深度h（单位：米）的关系为ρ=0.8+0.2h，求在深度为5米到10米之间，石油密度的积分平均值。
4.某地质勘探队在某地区钻探时，发现石油密度ρ（单位：吨/立方米）随深度h（单位：米）的变化关系为ρ=0.8+0.2h，求在深度为5米处，石油密度的积分值。
四、多元函数微分学在地球表面形态研究中的应用
要求：运用多元函数微分学的知识，解决以下地球表面形态研究问题。
1.设某地区地形的等高线方程为z=f(x,y)，其中x、y分别表示平面直角坐标系中的横纵坐标，z表示高度。已知等高线方程的偏导数f_x=2x-y，f_y=x+2y，求该地区地形在点(1,1)处的梯度。
2.某地区地形的高度函数为z=x^2+y^2-2xy，求该地区地形在点(2,2)处的最大斜率。
3.某地区地形的高度函数为z=x^2+y^2-2xy，求该地区地形在点(2,2)处的切平面方程。
4.某地区地形的高度函数为z=x^2+y^2-2xy，求该地区地形在点(2,2)处的法线方程。
五、多元函数积分学在地球物理勘探中的应用
要求：运用多元函数积分学的知识，解决以下地球物理勘探问题。
1.设某地区的重力场强度G(x,y)=x^2+y^2，求在以原点为中心，半径为r的圆区域内，重力场强度的积分。
2.某地区的地热分布函数为T(x,y)=x^2+y^2，求在以点(1,1)为中心，边长为2的正方形区域内，地热分布的总和。
3.某地区的地磁强度分布函数为B(x,y)=x^2+y^2，求在以点(0,0)为中心，半径为1的圆区域内，地磁强度的平均强度。
4.某地区的地震波速度分布函数为v(x,y)=x^2+y^2，求在以点(2,2)为中心，边长为3的正方形区域内，地震波速度的总和。
六、常微分方程在地球科学预测中的应用
要求：运用常微分方程的知识，解决以下地球科学预测问题。
1.设某地区地下石油的产量Q(t)（单位：吨/天）与时间t（单位：天）的关系为Q(t)=100e^{-0.05t}，求从t=0到t=10天内的总产量。
2.某地区地下石油的产量Q(t)（单位：吨/天）与时间t（单位：天）的关系为Q(t)=100e^{-0.05t}，求在t=5天时，石油产量的瞬时变化率。
3.设某地区地热流量Q(t)（单位：立方米/秒）与时间t（单位：秒）的关系为Q(t)=2t^2-3t+1，求从t=1到t=3秒内的地热流量总和。
4.设某地区地热流量Q(t)（单位：立方米/秒）与时间t（单位：秒）的关系为Q(t)=2t^2-3t+1，求在t=2秒时，地热流量的瞬时变化率。
本次试卷答案如下：
一、一元函数微分学在地质勘探中的应用
1.解析：根据石油密度与深度的关系ρ=0.8+0.2h，代入h=10，得ρ=0.8+0.2*10=2。
答案：石油密度为2吨/立方米。
2.解析：根据钻井深度与时间的关系h=10+0.5t，求导得h=0.5。代入t，得h=0.5。
答案：钻井深度增加的速度为0.5米/小时。
3.解析：石油密