2025年考研数学（三）微积分经济问题解题策略卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设函数f（x）=x^3-3x+2，则f（x）的极值点为：
（A）x=-1，x=1
（B）x=-1，x=0
（C）x=0，x=1
（D）x=0，x=-1
2.设函数f（x）在区间[0,2]上连续，在区间（0,2）内可导，f（0）=2，f（2）=4，若f′（x）≤2，则f（x）的值域为：
（A）[2,6]
（B）[2,4]
（C）[4,6]
（D）[2,8]
3.设函数f（x）=x^2e^x，则f′（x）=？
（A）2xe^x+x^2e^x
（B）2xe^x+x^2e^x+2xe^x
（C）2xe^x+x^2e^x-2xe^x
（D）2xe^x+x^2e^x-x^2e^x
4.设函数f（x）=lnx在区间[1,2]上的最大值为M，则f（x）在区间[2,3]上的最大值为：
（A）M
（B）M/2
（C）2M
（D）3M
5.设函数f（x）=x^3-x在区间[-2,1]上的零点个数为：
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
6.设函数f（x）=x^2+2x+1，则f（-x）=？
（A）x^2+2x+1
（B）x^2-2x+1
（C）x^2+2x-1
（D）x^2-2x-1
7.设函数f（x）=x^2在区间[0,1]上的平均值等于：
（A）1/2
（B）1
（C）2
（D）3
8.设函数f（x）=x^2在区间[0,1]上的积分等于：
（A）1/2
（B）1
（C）2
（D）3
9.设函数f（x）=lnx在区间[1,e]上的导数等于：
（A）1/x
（B）1
（C）e
（D）1/e
10.设函数f（x）=x^3在区间[0,2]上的平均值等于：
（A）1/2
（B）1
（C）2
（D）3
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
1.设函数f（x）=x^2，则f′（x）=__________。
2.设函数f（x）=lnx，则f′（x）=__________。
3.设函数f（x）=e^x，则f′（x）=__________。
4.设函数f（x）=ln(x+1)，则f′（x）=__________。
5.设函数f（x）=x^3-3x+2，则f′（x）=__________。
三、解答题（本大题共2小题，共40分）
1.（20分）求函数f（x）=x^2e^x在区间[0,2]上的最大值和最小值。
2.（20分）求函数f（x）=lnx在区间[1,2]上的平均值。
四、应用题（本大题共1小题，共20分）
1.某企业生产某种产品的总成本函数为C(x)=50x+1000，其中x为产品产量。已知当产量为100件时，每件产品的平均成本为45元。求该企业的边际成本函数，并求产量为150件时的边际成本。
五、证明题（本大题共1小题，共20分）
2.证明：对于任意的正数a和b，都有不等式a^2+b^2≥2ab成立。
六、计算题（本大题共1小题，共20分）
3.某商品的需求函数为Q=100-2P，其中P为价格，Q为需求量。已知当价格为20元时，需求量为60件。求该商品的收益函数R(P)。
本次试卷答案如下：
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.答案：（A）x=-1，x=1
解析：函数f（x）=x^3-3x+2的导数为f′（x）=3x^2-3。令f′（x）=0，得x=±1。通过测试端点值和导数的正负变化，可以确定x=-1是极大值点，x=1是极小值点。
2.答案：（B）[2,4]
解析：由拉格朗日中值定理知，存在c∈（0,2），使得f′（c）=f（2）-f（0）/2=1。由于f′（x）≤2，所以f（x）的值域不可能超过[2,4]。
3.答案：（A）2xe^x+x^2e^x
解析：使用乘积法则求导，得f′（x）=(x^2)e^x+x^2(e^x)=2xe^x+x^2e^x。
4.答案：（C）2M
解析：由于f（x）=lnx在[1,2]上的最大值为M，且lnx在[2,3]上的增长速率更快，所以在[2,3]上的最大值为2M。
5.答案：（C）3
解析：函数f（x）=x^3-x在x=-2时为负，x=0时为0，x=1时为正，x=2时为负，因此在[-2,1]上有3个零点。
6.答案：（A）x^2+2x+1
解析：将-x代入f（x）=x^2+2x+1，得f（-x）=(-x)^2+2(-x)+1=x^2-2x+1。
7.答案：（B）1
解析：平均值等于积分除以区间长度，即(∫x^2dx)/[0,1]=x^3/3|_0^1=1/3-0=1。
8.答案：（A）1/2
解析：积分∫x^2dx=x^3/3|_0^1=1/3-0=1/