2025年考研数学（一）高等数学强化试卷：向量值函数与向量场挑战题
一、向量值函数
要求：理解和掌握向量值函数的概念、性质及基本运算，并能运用所学知识解决实际问题。
1.已知向量值函数$\boldsymbol{r}(t)=(2t^2,3t^3,4t^4)$，求$\boldsymbol{r}(t)$和$\boldsymbol{r}(t)$。
2.求下列向量值函数的导数：
（1）$\boldsymbol{r}(t)=(e^t,\lnt,t^2-1)$；
（2）$\boldsymbol{r}(t)=(1-t^2,\sint,e^{-t})$。
二、向量场
要求：理解和掌握向量场的概念、性质及基本运算，并能运用所学知识解决实际问题。
3.已知向量场$\boldsymbol{F}=(2xy,3xy,4xy)$，求$\boldsymbol{F}$在点$(1,1,1)$处的值。
4.设向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$，其中$P=x^2y-2yz^2$，$Q=2xy^2-yz^2$，$R=3xyz$。求$\boldsymbol{F}$的旋度和散度。
5.设向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q,R)$，其中$P=e^x\cosy$，$Q=e^x\siny$，$R=e^y\cosz$。求$\boldsymbol{F}$的散度。
6.已知向量场$\boldsymbol{F}=(x^2,y^2,z^2)$，求$\boldsymbol{F}$在点$(1,2,3)$处的值。
四、向量值函数的积分
要求：掌握向量值函数的积分概念、计算方法，并能解决实际问题。
7.计算下列向量值函数的积分：
（1）$\int_{0}^{1}\boldsymbol{r}(t)\,dt$，其中$\boldsymbol{r}(t)=(t^2,t^3,t^4)$；
（2）$\int_{C}\boldsymbol{F}\cdotd\boldsymbol{r}$，其中$\boldsymbol{F}=(y,x,z)$，$C$是从点$(1,1,1)$到点$(2,2,2)$的直线段。
五、向量场的线积分与路径无关性
要求：理解向量场线积分的概念，掌握判断路径无关性的方法，并能应用这些知识解决实际问题。
8.设向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q)$，其中$P=y^2-x^2$，$Q=2xy$。判断$\boldsymbol{F}$是否为保守场，并求出其势函数$f(x,y)$。
9.已知向量场$\boldsymbol{F}=(P,Q)$，其中$P=x^2+y^2$，$Q=2xy$。求$\int_{L}\boldsymbol{F}\cdotd\boldsymbol{r}$，其中$L$是从点$(0,0)$到点$(1,1)$的折线路径，先沿$x$轴到$(1,0)$，再沿$y$轴到$(1,1)$。
六、向量场的面积分与高斯公式
要求：理解向量场的面积分和高斯公式，掌握计算方法，并能解决实际问题。
10.计算下列向量场的面积分：
（1）$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdotd\boldsymbol{S}$，其中$\boldsymbol{F}=(y,x,z)$，$S$是平面$x+y+z=1$在第一卦限的部分；
（2）利用高斯公式计算$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdotd\boldsymbol{S}$，其中$\boldsymbol{F}=(x,y,z)$，$S$是球面$x^2+y^2+z^2=1$的外表面。
本次试卷答案如下：
一、向量值函数
1.解析：
-$\boldsymbol{r}(t)=\left(\frac{d}{dt}(2t^2),\frac{d}{dt}(3t^3),\frac{d}{dt}(4t^4)\right)=(4t,9t^2,16t^3)$
-$\boldsymbol{r}(t)=\left(\frac{d}{dt}(4t),\frac{d}{dt}(9t^2),\frac{d}{dt}(16t^3)\right)=(4,18t,48t^2)$
2.解析：
-（1）$\boldsymbol{r}(t)=\left