2025年考研数学（一）高等数学强化训练试题：实战演练与题型分析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设函数f(x)=x^3-3x，则f(0)等于：
A.0
B.1
C.-1
D.3
2.若lim(x→0)(sinx-x)/x=1，则该极限的等价无穷小是：
A.sinx
B.x
C.1
D.x^2
3.已知函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,2]上的最大值为：
A.0
B.1
C.2
D.3
4.设A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，则行列式|A×B|等于：
A.0
B.6
C.12
D.18
5.若向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则向量a·b等于：
A.21
B.0
C.-21
D.1
6.设函数f(x)=x^2，g(x)=2x，则f[g(x)]等于：
A.2x^2
B.2x
C.x^2
D.4x
7.若lim(x→∞)(1/x)=0，则该极限的等价无穷小是：
A.1
B.x
C.1/x
D.x^2
8.设矩阵A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，则A×B等于：
A.(1,2,3)
B.(4,5,6)
C.(1,4,7)
D.(1,5,9)
9.若函数f(x)=x^3在区间[0,1]上单调递增，则f(x)大于0的区间是：
A.[0,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,1)
10.设函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-1，则f(1)等于：
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）
11.设函数f(x)=x^2-3x+2，则f(x)的图像与x轴的交点坐标为______。
12.已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，则向量a×b等于______。
13.若lim(x→0)(sinx-x)/x=1，则该极限的等价无穷小是______。
14.设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(x)=______。
15.设矩阵A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，则行列式|A×B|等于______。
三、解答题（本大题共3小题，共75分。）
16.（本小题共15分）求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在区间[0,1]上的最大值和最小值。
17.（本小题共20分）设矩阵A=(1,2,3)，B=(4,5,6)，求行列式|A×B|。
18.（本小题共40分）设函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的表达式，并求出f(x)的零点。
四、应用题（本大题共1小题，共15分）
19.已知函数f(x)=x^3-9x，求f(x)的极值点和拐点，并判断函数的凹凸性。
五、证明题（本大题共1小题，共15分）
20.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=f(a)+(ξ-a)f(a)。
六、计算题（本大题共1小题，共15分）
21.计算定积分∫(0toπ)x^2*cos(x)dx。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B
解析：由导数的定义，f(0)=lim(h→0)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0)(h^3-3h)/h=-3。
2.B
解析：由极限的定义，lim(x→0)(sinx-x)/x=1，可转化为lim(x→0)sinx/x-lim(x→0)x/x=1，而lim(x→0)sinx/x=1，所以等价无穷小为x。
3.A
解析：函数f(x)=x^2-3x+2是一个开口向上的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即(3/2,-1/4)。在区间[1,2]上，函数的最大值为f(1)=0。
4.D
解析：行列式|A×B|等于两个向量的外积的模，即|A×B|=|(1,2,3)×(4,5,6)|=|(3,-3,3)|=3*√(1^2+1^2+1^2)=3√3。
5.A
解析：向量a和b的点积等于它们的模长乘以它们夹角的余弦值，由于a和b是单位向量，夹角余弦值为1，所以a·b=|a|*|