2025年考研数学（一）高等数学强化训练卷：极限理论在数学中的应用
一、填空题
1.若函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)处连续，则\(\lim_{x\to1}f(x)=\)________。
2.若数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=n^2-n\)，则数列的极限\(\lim_{n\to\infty}a_n=\)________。
3.若函数\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)，则\(\lim_{x\to0}f(x)=\)________。
4.若数列\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n=\frac{1}{n}\)，则数列的极限\(\lim_{n\to\infty}b_n=\)________。
5.若函数\(f(x)=e^x\)，则\(\lim_{x\to\infty}f(x)=\)________。
二、选择题
1.设函数\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)，则\(\lim_{x\to2}f(x)\)的值是：
A.2
B.4
C.6
D.无极限
2.数列\(\{c_n\}\)的通项公式为\(c_n=\frac{1}{n^2+1}\)，则数列的极限\(\lim_{n\to\infty}c_n\)是：
A.0
B.1
C.无极限
D.2
3.若函数\(g(x)=\frac{\sinx}{x}\)，则\(\lim_{x\to0}g(x)\)的值是：
A.0
B.1
C.无极限
D.2
4.设函数\(h(x)=\frac{x^3-1}{x-1}\)，则\(\lim_{x\to1}h(x)\)的值是：
A.1
B.2
C.3
D.无极限
5.若数列\(\{d_n\}\)的通项公式为\(d_n=\frac{n}{n+1}\)，则数列的极限\(\lim_{n\to\infty}d_n\)是：
A.0
B.1
C.无极限
D.2
三、解答题
1.设函数\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，求\(\lim_{x\to1}f(x)\)。
2.设数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=n^2-n\)，求数列的极限\(\lim_{n\to\infty}a_n\)。
3.设函数\(f(x)=\sqrt{x^2+1}\)，求\(\lim_{x\to0}f(x)\)。
4.设数列\(\{b_n\}\)的通项公式为\(b_n=\frac{1}{n}\)，求数列的极限\(\lim_{n\to\infty}b_n\)。
5.设函数\(f(x)=e^x\)，求\(\lim_{x\to\infty}f(x)\)。
四、证明题
证明：若函数\(f(x)\)在点\(x=a\)的去心邻域内连续，且\(\lim_{x\toa}f(x)=L\)，则\(f(x)\)在\(x=a\)处的极限存在，且\(\lim_{x\toa}f(x)=L\)。
五、计算题
计算下列极限：
1.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)
2.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)
3.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)
4.\(\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}\)
5.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}\)
六、应用题
1.设函数\(f(x)=x^2+2x+1\)，求\(\lim_{x\to-1}f(x)\)。
2.设数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\frac{n}{n+1}\)，证明数列\(\{a_n\}\)的极限存在。
3.设函数\(f(x)