2025年考研数学（一）高等代数知识体系构建与空间解析几何问题求解卷
一、线性方程组与矩阵
1.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
2x_1-x_2+x_3=1\\
3x_1+2x_2-x_3=2\\
-x_1+4x_2+2x_3=0
\end{cases}
\]
求该方程组的通解。
2.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)。
3.已知矩阵\(B=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵\(B\)的伴随矩阵\(B^*\)。
二、向量与线性空间
1.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)\)，判断该向量组是否线性相关。
2.设线性空间\(V\)的维数为3，且基为\(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)，求向量\(\boldsymbol{v}=(1,2,3)\)在基\(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)下的坐标。
3.设向量\(\boldsymbol{v}=(1,2,3)\)，向量\(\boldsymbol{u}=(4,5,6)\)，求向量\(\boldsymbol{v}\)在向量\(\boldsymbol{u}\)上的投影。
四、二次型与特征值
要求：求解下列二次型的特征值和特征向量。
1.求二次型\(f(x,y,z)=x^2-4xy+4y^2+2xz-2yz+z^2\)的特征值和特征向量。
2.已知二次型\(f(x,y,z)=2x^2+4y^2-2z^2+2xy-4xz\)的特征值分别为1,2,3，求对应的特征向量。
3.设二次型\(f(x,y,z)=ax^2+by^2+cz^2+2dxy-2exz+2fyz\)的矩阵\(A\)为\(\begin{bmatrix}ad-e\\dbf\\-efc\end{bmatrix}\)，求\(a,b,c,d,e,f\)的值，使得\(A\)的特征值为1,2,3。
五、线性变换与矩阵
要求：对给定的线性变换进行计算。
1.设线性变换\(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\)由矩阵\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)定义，求\(T\)在基\(\{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\}\)下的矩阵表示。
2.设线性变换\(T:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)由矩阵\(B=\begin{bmatrix}21\\32\end{bmatrix}\)定义，求\(T\)的核和像。
3.设线性变换\(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\)由矩阵\(C=\begin{bmatrix}100\\001\\010\end{bmatrix}\)定义，求\(T\)的特征值和特征向量。
六、空间解析几何
要求：求解空间解析几何问题。
1.已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，\(C(7,8,9)\)，求直线\(AB\)的参数方程和对称方程。
2.已知平面\(\pi:x+2y-3z=4\)和直线\(l:x=2t-1,y=3t+1,z=t\)，求直线\(l\)与平面\(\pi\)的交点。
3.