2025年考研数学(一)高等数学强化训练卷:微积分基本定理与定积分
一、选择题
1.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,且\(f(a)=f(b)\),则下列结论正确的是:
A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至少存在一点\(c\),使得\(f(c)=0\)
B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至少存在一点\(c\),使得\(f(c)=0\)
C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至少存在一点\(c\),使得\(f(c)=0\)且\(f(c)=0\)
D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上至多存在一点\(c\),使得\(f(c)=0\)
2.设\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续,且\(f(0)=0,f(1)=1\),则下列积分中值为零的是:
A.\(\int_0^1f(x)\,dx\)
B.\(\int_0^1(f(x)-f(0))\,dx\)
C.\(\int_0^1(f(x)-f(1))\,dx\)
D.\(\int_0^1(f(x)-1)\,dx\)
二、填空题
1.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,且\(f(a)=0,f(b)=1\),则\(\int_a^bf(x)\,dx\)的值为______。
2.设函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上连续,且\(f(0)=0,f(1)=1\),则\(\int_0^1f(x)\,dx\)的值为______。
3.设函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,且\(f(a)=1,f(b)=0\),则\(\int_a^bf(x)\,dx\)的值为______。
三、解答题
1.设函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上连续,且\(f(0)=0,f(1)=1\),证明:存在\(\xi\in(0,1)\),使得\(f(\xi)=1\)。
2.设函数\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上连续,且\(f(0)=0,f(1)=1\),证明:存在\(\xi\in(0,1)\),使得\(\int_0^1f(x)\,dx=f(\xi)\)。
四、计算题
1.计算定积分\(\int_0^{\pi}\sin^2x\,dx\)。
2.计算定积分\(\int_1^2\frac{x^2}{x^3+1}\,dx\)。
3.计算定积分\(\int_0^{\infty}e^{-x^2}\,dx\)。
五、证明题
1.证明:若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值和最小值。
2.证明:若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,且\(f(a)0\),\(f(b)0\),则\(f(x)\)在\((a,b)\)内至少存在一点\(c\),使得\(f(c)=0\)。
3.证明:若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续,且\(f(x)\)在\([a,b]\)上存在,则\(f(x)\)在\([a,b]\)上必有最大值和最小值。
六、应用题
1.一质点做直线运动,其速度\(v(t)\)(单位:米/秒)随时间\(t\)(单位:秒)的变化关系为\(v(t)=2t+1\)。求从\(t=0\)到\(t=3\)秒内质点通过的路程。
2.某工厂生产某种产品,其成本函数为\(C(x)=3x^2+4x+2\)(单位:元/件),其中\(x\)为生产件数。若每件产品的售价为5元,求工厂生产100件产品的最大利润。
3.一物体的位移\(s(t)\)(单位:米)随时间\(t\)(单位:秒)的变化关系为\(s(t)=t^3-6t^2+9t\)。求物体在\(t=0\)到\(t=3\)秒内的平均速度。
本次试卷答案如下:
一、选择题
1.A.\(f(x)\)在