2025年考研数学（一）高等代数强化训练：行列式计算与逆矩阵技巧
一、行列式计算
要求：熟练掌握行列式的展开定理，并能正确计算二阶、三阶行列式。
1.计算下列二阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
12\\
34
\end{vmatrix}$$
2.计算下列三阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
123\\
456\\
789
\end{vmatrix}$$
3.计算下列三阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
abc\\
def\\
ghi
\end{vmatrix}$$
4.计算下列三阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
100\\
010\\
001
\end{vmatrix}$$
5.计算下列三阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
111\\
112\\
123
\end{vmatrix}$$
二、逆矩阵技巧
要求：熟练掌握逆矩阵的性质，并能正确求出二阶、三阶矩阵的逆矩阵。
1.求下列二阶矩阵的逆矩阵：
$$A=\begin{pmatrix}
12\\
34
\end{pmatrix}$$
2.求下列三阶矩阵的逆矩阵：
$$B=\begin{pmatrix}
123\\
456\\
789
\end{pmatrix}$$
3.求下列三阶矩阵的逆矩阵：
$$C=\begin{pmatrix}
abc\\
def\\
ghi
\end{pmatrix}$$
4.求下列三阶矩阵的逆矩阵：
$$D=\begin{pmatrix}
100\\
010\\
001
\end{pmatrix}$$
5.求下列三阶矩阵的逆矩阵：
$$E=\begin{pmatrix}
111\\
112\\
123
\end{pmatrix}$$
四、行列式的性质与应用
要求：掌握行列式的性质，并能运用这些性质简化行列式的计算。
1.利用行列式的性质计算下列行列式：
$$\begin{vmatrix}
123\\
456\\
789
\end{vmatrix}$$
2.利用行列式的性质证明下列等式：
$$\begin{vmatrix}
abc\\
def\\
ghi
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
abc\\
def\\
ghi
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
000\\
000\\
000
\end{vmatrix}$$
3.证明下列等式：
$$\begin{vmatrix}
123\\
456\\
789
\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}
12\\
45
\end{vmatrix}$$
4.证明下列等式：
$$\begin{vmatrix}
abc\\
def\\
ghi
\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}
ef\\
hi
\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}
df\\
gi
\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}
de\\
gh
\end{vmatrix}$$
五、逆矩阵的求解与应用
要求：掌握逆矩阵的求解方法，并能运用逆矩阵解决实际问题。
1.求下列矩阵的逆矩阵，并验证：
$$A=\begin{pmatrix}
123\\
456\\
789
\end{pmatrix}$$
2.求下列矩阵的逆矩阵，并验证：
$$B=\begin{pmatrix}
a