2025年考研数学（一）高等代数强化试题：难点解析与突破
一、多项选择题（每小题4分，共16分）
1.设向量组α1，α2，α3，α4线性相关，则下列结论中正确的是（）。
A.向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）≤3
B.向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）≤4
C.向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）≤2
D.向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）=4
2.设A为n阶方阵，则下列结论中正确的是（）。
A.若|A|≠0，则A可逆
B.若|A|=0，则A不可逆
C.若A可逆，则|A|≠0
D.若|A|=0，则A可逆
3.设A为n阶方阵，下列结论中正确的是（）。
A.若A的秩为n，则A可逆
B.若A的秩为n-1，则A可逆
C.若A的秩为n-2，则A可逆
D.若A的秩为n，则|A|≠0
4.设A为n阶方阵，下列结论中正确的是（）。
A.若A可逆，则|A|≠0
B.若|A|=0，则A可逆
C.若A不可逆，则|A|≠0
D.若|A|≠0，则A可逆
二、填空题（每小题4分，共16分）
1.设向量组α1，α2，α3，α4线性相关，则向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）______。
2.设A为n阶方阵，则|A|≠0的充分必要条件是______。
3.设A为n阶方阵，若A可逆，则|A|______。
4.设A为n阶方阵，若A的秩为n，则A______。
三、解答题（每小题12分，共36分）
1.设向量组α1，α2，α3，α4线性相关，求向量组α1，α2，α3，α4的秩。
2.设A为n阶方阵，若A可逆，求|A|的值。
3.设A为n阶方阵，若A的秩为n，求|A|的值。
四、证明题（每小题12分，共24分）
1.证明：设A为n阶方阵，若A的行列式|A|≠0，则A的逆矩阵存在，且满足AA?1=A?1A=E。
2.证明：设A为n阶方阵，若A的秩为n，则A可逆。
五、计算题（每小题12分，共24分）
1.计算矩阵A的行列式，其中A=\(\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)。
2.计算矩阵B的逆矩阵，其中B=\(\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)。
六、应用题（每小题12分，共24分）
1.设线性方程组Ax=b的系数矩阵为A，增广矩阵为（A|b），已知A的秩为2，b的秩为3，求该方程组的解的情况。
2.设线性空间V由向量组α1，α2，α3，α4生成，已知向量组α1，α2，α3，α4线性相关，求V的维数。
本次试卷答案如下：
一、多项选择题
1.A
解析：向量组α1，α2，α3，α4线性相关，意味着它们中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。因此，向量组α1，α2，α3，α4的秩r（α1，α2，α3，α4）≤4，因为如果秩为4，则它们线性无关。
2.C
解析：如果|A|≠0，则根据行列式的性质，A的列向量线性无关，因此A可逆。
3.A
解析：如果A的秩为n，说明A的列向量组线性无关，根据方阵的秩等于其列数或行数，A是满秩的，因此A可逆。
4.A
解析：如果A可逆，则根据方阵的性质，A的行列式不为零，因为可逆矩阵的行列式是其逆矩阵的行列式的倒数。
二、填空题
1.≤3
解析：线性相关的向量组中，秩不会超过向量数减去1，因此秩r（α1，α2，α3，α4）≤3。
2.A可逆
解析：|A|≠0是A可逆的充分必要条件，因为只有当A可逆时，其行列式才不为零。
3.≠0
解析：如果A可逆，则其行列式不为零，因为可逆矩阵的行列式是其逆矩阵的行列式的倒数。
4.可逆
解析：如果A的秩为n，则A的列向量组线性无关，因此A是满秩的，所以A可逆。
三、解答题
1.解析：因为向量组α1，α2，α3，α4线性相关，所以它们的秩r（α1，α2，α3，α4）4。具体求秩需要计算向量组的秩，可能涉及行简化或使用秩的性质。
2.解析：如果A可逆，则|A|的值是A的逆矩阵的行列式的倒数。具体求|A|的值需要计算A的行列式。
3.解析：如果A的秩为n，则A是满秩的，所以A可逆。具体求|A|的值需要计算A的行列式。
四、证明题
1.解析：首先，由于|A|≠0，A的列向量组线性无关。接下来，构造A的伴随矩阵A*，根据伴随矩阵的定义，A*的每个元素是A的代数余子式。由于A的列向量组线性无关，A*的行列式|A*|≠0。然后，利用伴随矩阵的性质，A?1=|A|A*/|A|2。最后，验证AA?1=