2025年考研数学（一）高等代数强化训练卷：含解析与长尾词解析
一、线性方程组
要求：本题主要考查线性方程组的求解方法，包括克拉默法则、行列式、矩阵运算等。
1.设线性方程组
$$
\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x+4y+2z=6\\
3x+6y-3z=9
\end{cases}
$$
求该方程组的解。
2.设线性方程组
$$
\begin{cases}
x+y+z=1\\
2x+2y+2z=2\\
3x+3y+3z=3
\end{cases}
$$
求该方程组的通解。
二、矩阵运算
要求：本题主要考查矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆等。
1.设矩阵
$$
A=\begin{bmatrix}
12\\
34
\end{bmatrix}
$$
求矩阵$A$的逆矩阵$A^{-1}$。
2.设矩阵
$$
B=\begin{bmatrix}
213\\
124\\
345
\end{bmatrix}
$$
求矩阵$B$的伴随矩阵$B^*$。
三、特征值与特征向量
要求：本题主要考查特征值与特征向量的计算，包括特征多项式、特征方程、特征向量等。
1.设矩阵
$$
C=\begin{bmatrix}
21\\
-13
\end{bmatrix}
$$
求矩阵$C$的特征值和特征向量。
2.设矩阵
$$
D=\begin{bmatrix}
412\\
321\\
213
\end{bmatrix}
$$
求矩阵$D$的特征值和特征向量。
四、二次型
要求：本题主要考查二次型的标准形、正负惯性指数、合同关系等。
1.设二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2+4x_3^2-2x_1x_3$，求该二次型的标准形。
2.设二次型$g(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2-4x_1x_3+3x_2x_3$，求该二次型的正负惯性指数。
五、线性空间
要求：本题主要考查线性空间的基本性质，包括线性空间的定义、线性变换、子空间等。
1.设向量空间$V=\{\alpha=(x_1,x_2,x_3)|x_1+x_2+x_3=0\}$，判断$V$是否为线性空间，并说明理由。
2.设线性变换$T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$，定义$T(\alpha)=(2x_1-x_2,x_1+3x_2,x_1-x_3)$，求$T$的矩阵表示。
六、内积空间
要求：本题主要考查内积空间的基本性质，包括内积的定义、正交性、完备性等。
1.设内积空间$W=\{\alpha=(x_1,x_2,x_3)|x_1,x_2,x_3\in\mathbb{R}\}$，内积定义为$\langle\alpha,\beta\rangle=x_1x_2+2x_2x_3+3x_3x_1$，判断$W$是否为欧几里得空间，并说明理由。
2.设向量$\alpha=(1,2,3)$，$\beta=(4,5,6)$，$\gamma=(7,8,9)$，求$\alpha$与$\beta$的夹角余弦值，以及$\alpha$与$\gamma$的正交性。
本次试卷答案如下：
一、线性方程组
1.解：
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
12-1|3\\
242|6\\
36-3|9
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}
12-1|3\\
000|0\\
000|0
\end{bmatrix}
$$
由于最后一行全为0，说明方程组有无穷多解。解为$x_1=3-2x_2+z$，$x_2$和$z$为任意常数。
2.解：
将方程组写成增广矩阵形式：
$$
\begin{bmatrix}
111|1\\
222|2\\
333|3
\end{bmatrix}
$$
$$
\begin{bmatrix}
111|1\\
000|0\\
000|0
\end{bmatrix