2025年考研数学（一）高等代数强化训练卷：典型题型解析与长尾词应用
一、多项选择题
要求：从下列各题的四个选项中，选择一个或多个正确的选项。
1.设向量组α＝{α1，α2，α3}，β＝{β1，β2，β3}，其中α1＝(1,2,3)，α2＝(4,5,6)，α3＝(7,8,9)，β1＝(1,2,3)，β2＝(4,5,6)，β3＝(7,8,9)。则下列结论正确的是（）
A.α与β等价
B.α与β线性无关
C.α与β线性相关
D.α与β秩相等
2.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的秩。
A.1
B.2
C.3
D.4
3.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的逆矩阵。
A.[1/6,-1/6,1/6]
B.[1/6,1/6,1/6]
C.[1/2,-1/2,1/2]
D.[1/2,1/2,1/2]
4.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征值。
A.0
B.1
C.2
D.3
5.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征向量。
A.(1,2,3)
B.(4,5,6)
C.(7,8,9)
D.(1,1,1)
二、填空题
要求：将下列各题的空格填入正确的答案。
6.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的行列式。
7.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的伴随矩阵。
8.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的秩。
9.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征值。
10.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征向量。
三、解答题
要求：解答下列各题。
11.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的逆矩阵。
12.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征值和特征向量。
13.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的秩。
14.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的行列式。
15.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的伴随矩阵。
四、证明题
要求：证明下列各题中的等式或结论。
16.证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆，且(A*)-1=(1/|A|)A。
17.证明：若向量组α1，α2，…，αn线性无关，则对任意常数k1，k2，…，kn，向量组k1α1+k2α2+…+knαn也线性无关。
五、应用题
要求：解答下列各题，并说明解题步骤。
18.已知矩阵A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的秩。
19.已知矩阵A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征值和特征向量。
六、综合题
要求：综合运用所学知识解答下列各题。
20.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的逆矩阵和伴随矩阵。
21.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的特征值和特征向量，并判断A是否可对角化。
22.设A＝[a1,a2,a3]，其中a1＝(1,2,3)，a2＝(4,5,6)，a3＝(7,8,9)，求矩阵A的秩，并判断A是否可逆。
本次试卷答案如下：
一、多项选择题
1.ACD
解析：向量组α与β的各分量成比例，因此它们等价，且秩相等。由于秩相等，且α与β的秩为3，所以它们线性无关。
2.B
解析：矩阵A的秩等于其行向量或列向量的最大