2025年考研数学（一）高等代数与空间解析几何难题解析与思维拓展卷
一、线性代数
要求：熟练掌握线性方程组、矩阵、向量空间、线性变换等基本概念和理论，并能灵活运用。
1.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
x_1+2x_2+3x_3=1\\
2x_1+4x_2+6x_3=2\\
3x_1+6x_2+9x_3=3
\end{cases}
\]
求其通解。
2.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)\)，求该向量组的秩。
3.已知线性变换\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\)，\(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Ax}\)，其中\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)。求\(\boldsymbol{T}\)的特征值和特征向量。
二、空间解析几何
要求：掌握空间解析几何的基本概念、性质和计算方法，并能灵活运用。
1.已知点\(A(1,2,3)\)，\(B(4,5,6)\)，\(C(7,8,9)\)，求直线\(AB\)的方程。
2.求由平面\(x+2y+3z=6\)和平面\(2x+4y+6z=12\)所围成的四面体的体积。
3.已知直线\(l\)的方向向量为\(\boldsymbol{s}=(1,2,3)\)，点\(P(1,2,3)\)到直线\(l\)的距离为\(d\)，求\(d\)的值。
三、线性方程组
要求：掌握线性方程组的解法，并能灵活运用。
1.已知线性方程组
\[
\begin{cases}
x+2y-z=1\\
2x+4y-2z=2\\
3x+6y-3z=3
\end{cases}
\]
求其通解。
2.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)\)，求该向量组的秩。
3.已知线性变换\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\)，\(\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Ax}\)，其中\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)。求\(\boldsymbol{T}\)的特征值和特征向量。
四、矩阵
要求：掌握矩阵的基本概念、性质和计算方法，并能灵活运用。
1.已知矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求\(\boldsymbol{A}\)的逆矩阵。
2.设矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求\(\boldsymbol{A}^2\)。
3.已知矩阵\(\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求\(\boldsymbol{A}\)的行列式。
五、向量空间
要求：掌握向量空间的基本概念、性质和计算方法，并能灵活运用。
1.设向量\(\boldsymbol{a}=(1,2,3)\)，\(\boldsymbol{b}=(4,5,6)\)，求向量\(\boldsymbol{a}\)和\(\boldsymbol{b}\)的线性组合。
2.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,3)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(4,5,6)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(7,8,9)\)，求该向量组的秩。
3.已知线性变换\(\boldsymbol{T}:\mathbb{R}^3\rightarrow\math