2025年考研数学（一）高等代数与空间解析几何重点难点突破卷
一、线性代数
要求：熟练掌握线性方程组的解法，向量空间的基本概念，线性变换及其性质。
1.已知线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x+y-3z=1\\
3x+4y+z=2
\end{cases}
\]
求该方程组的通解。
2.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,-1)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(2,0,1)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(3,1,2)\)，判断向量组\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\)的线性相关性。
二、多项式
要求：掌握多项式的概念、运算及性质，了解有理系数多项式的根与系数的关系。
3.设多项式\(f(x)=x^3-3x^2+4x-4\)，求\(f(x)\)的一个根。
4.若有理系数多项式\(f(x)\)的一个根为\(x=2\)，且\(f(x)\)的最高次项系数为1，求\(f(x)\)的表达式。
三、行列式
要求：掌握行列式的概念、运算及性质，了解行列式在解线性方程组、求逆矩阵等中的应用。
5.计算行列式：
\[
\begin{vmatrix}
231\\
423\\
152
\end{vmatrix}
\]
6.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求\(A\)的行列式\(|A|\)及其逆矩阵\(A^{-1}\)。
四、矩阵
要求：掌握矩阵的概念、运算及性质，了解矩阵的秩、逆矩阵、特征值等概念。
7.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的行列式\(|A|\)及其逆矩阵\(A^{-1}\)。
8.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的秩。
五、向量空间
要求：掌握向量空间的基本概念，线性变换及其性质。
9.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,-1)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(2,0,1)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(3,1,2)\)，判断向量组\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\)是否构成向量空间，并说明理由。
10.设线性变换\(T:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\)，定义为\(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\)，其中\(A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求\(T\)的核和像。
六、线性方程组
要求：掌握线性方程组的解法，了解线性方程组的性质。
11.已知线性方程组：
\[
\begin{cases}
x+2y-z=3\\
2x+y-3z=1\\
3x+4y+z=2
\end{cases}
\]
求该方程组的通解。
12.设向量组\(\boldsymbol{a}_1=(1,2,-1)\)，\(\boldsymbol{a}_2=(2,0,1)\)，\(\boldsymbol{a}_3=(3,1,2)\)，判断向量组\(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_3\)的线性相关性。
四、特征值与特征向量
要求：掌握特征值与特征向量的概念，了解特征值与特征向量的性质，能够求出矩阵的特征值和特征向量。
13.设矩阵\(A=\begin{bmatrix}41\\23\end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的特征值和对应的特征向量。
14.设矩阵\(B=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵\(B\)的特征值和对应的特征向量。
五、二次型
要求：掌握二次型的概念、标准形、正定二次型等概念，了解二次型与矩阵的关系。
15.