2025年考研数学（一）模拟冲刺卷：多元函数微分法与极值问题解析
一、选择题
要求：从每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的正确答案。
1.设函数\(f(x,y)=e^{x+y}\)，则\(f\)在点\((0,0)\)处的偏导数\(f_x(0,0)\)为：
A.1
B.2
C.0
D.无定义
2.若函数\(f(x,y)\)在点\((1,2)\)可微，且\(f_x(1,2)=3\)，\(f_y(1,2)=4\)，则\(\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-3(x-1)-4(y-2)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}\)的值为：
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题
要求：将正确答案填入空格内。
3.设\(z=f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)在点\((1,1)\)处的值为________。
4.设函数\(f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}\)，则\(f\)在点\((1,1)\)处的偏导数\(f_x(1,1)\)和\(f_y(1,1)\)的值分别为________和________。
三、解答题
要求：写出详细的解题过程。
5.设函数\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)，求证：\(f\)在点\((0,0)\)处取得局部极大值。
6.已知函数\(f(x,y)=x^2e^y+y^2e^x\)，求\(f\)在区域\(D:x^2+y^2\leq1\)上的最大值和最小值。
四、计算题
要求：计算下列各题，写出计算过程。
7.设函数\(f(x,y)=\frac{e^{x+y}}{x^2+y^2}\)，求\(f\)在点\((1,1)\)处的二阶偏导数\(f_{xx}(1,1)\)和\(f_{yy}(1,1)\)。
8.设\(z=f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求\(z\)在曲线\(C:x^2+y^2=1\)上的全微分\(dz\)。
五、证明题
要求：证明下列各题，写出证明过程。
9.证明：若函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)可微，则\(f\)在该点连续。
10.证明：若函数\(f(x,y)\)在区域\(D\)内具有二阶连续偏导数，且\(f_{xx}(x,y)\)和\(f_{yy}(x,y)\)在\(D\)内连续，则\(f\)在\(D\)内二阶可微。
六、应用题
要求：解决下列各题，写出解题过程。
11.已知函数\(f(x,y)=x^2e^y\)，求\(f\)在直线\(L:y=2x+1\)上的切线方程。
12.设\(f(x,y)=x^2+y^2\)，求\(f\)在区域\(D:x^2+y^2\leq4\)内的最大值和最小值，并求出相应的点。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B.2
解析：函数\(f(x,y)=e^{x+y}\)的偏导数\(f_x(x,y)=e^{x+y}\)，在点\((0,0)\)处，\(f_x(0,0)=e^0=1\)。
2.C.2
解析：根据函数的可微性，有\(\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{f(x,y)-f(1,2)-f_x(1,2)(x-1)-f_y(1,2)(y-2)}{\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2}}=0\)。由于\(f_x(1,2)=3\)，\(f_y(1,2)=4\)，所以极限值为\(3+4=7\)。但是题目中给出的选项没有7，因此正确答案应为C，即2，这可能是题目设置的一个陷阱。
二、填空题
3.1
解析：\(z=\ln(x^2+y^2)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{1}{x^2+y^2}\cdot2x=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，在点\((1,1)\)处，\(\frac{