2025年考研数学（一）概率论与数理统计难点突破试卷
一、选择题
要求：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ=（）。
A.1B.2C.3D.4
2.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,4)，则P{X+Y3}=（）。
A.1/3B.2/3C.1/2D.1
3.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(2,1/2)，Y~B(3,1/3)，则P{X+Y=2}=（）。
A.1/4B.1/3C.1/2D.2/3
4.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则P{XY≤1/2}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
5.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则P{|X+Y|≤1}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
6.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(3,1/2)，Y~B(2,1/2)，则P{X+Y≥2}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
7.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则P{X^2+Y^2≤1}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
8.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则P{|X-Y|≤1}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
9.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(4,1/2)，Y~B(3,1/2)，则P{X+Y≤2}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
10.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则P{X^2-Y^2≤0}=（）。
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
二、填空题
要求：本题共5小题，每小题10分，共50分。请将答案填在题目的横线上。
11.设随机变量X和Y相互独立，且X~B(5,1/2)，Y~B(3,1/2)，则E(XY)=________。
12.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则D(X+Y)=________。
13.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则E(XY)=________。
14.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，则Cov(X,Y)=________。
15.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，则E(XY^2)=________。
三、解答题
要求：本题共3小题，共100分。
16.（20分）设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(0,1)，求P{X-Y≤-1}。
17.（30分）设随机变量X和Y相互独立，且X~B(5,1/2)，Y~B(3,1/2)，求P{X+Y≥3}。
18.（50分）设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，求P{X^2+Y^2≤1}。
四、证明题
要求：本题共1小题，共20分。证明下列各题。
19.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从参数为λ的指数分布E(X)=1，则X+Y服从参数为λ的伽马分布。
五、计算题
要求：本题共1小题，共30分。计算下列各题。
20.设随机变量X和Y相互独立，且X~U(0,1)，Y~U(0,1)，求随机变量Z=XY的分布函数F_Z(z)。
六、综合题
要求：本题共1小题，共50分。综合运用所学知识解决下列问题。
21.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(μ_1,σ_1^2)，Y~N(μ_2,σ_2^2)，其中μ_1=2，σ_1^2=4，μ_2=3，σ_2^2=9。求随机变量Z=(X-Y)/(σ_1/σ_2)的分布类型，并计算P{Z1}。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A
解析：泊松分布的概率质量函数为P{X=k}=e^(-λ)λ^k/k!，由P{X=1}=P{X=2}，得e^(-λ)λ=λ^2/2，解得λ=1。
2.B
解析：由于X和Y相互独立，且X~N(0,1)，Y~N(1,4)，所以X+Y~N(1,5)。因此，P{X+Y3}=1-P{X+Y≤3}=1-Φ(3/√5)≈1/3。
3.A
解析：由于X和Y相互独立，且X~B(2,1/2)，Y~B(3,1/3)，所以P{X+Y=2}=P{X=0}P{Y=2}+P{X=1}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=0}=(1/2)^2(1/3)^2+(1/