2025年考研数学（一）概率论与数理统计强化卷：实战案例与解题思路
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P{X=2}的值为（）
A.(e^-λλ^2)/2!B.(e^-λλ^2)/3!C.(e^-λλ^2)/4!D.(e^-λλ^2)/5!
2.设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则P{XY0}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
3.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则P{XY1/2}的值为（）
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
4.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，则P{XY}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
5.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则P{min{X,Y}1/2}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
6.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为1的均匀分布，则P{X+Y≤1}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
7.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为2的指数分布，则P{XY}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则P{X^2+Y^2≤1}的值为（）
A.1/4B.1/2C.3/4D.1
9.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为1的均匀分布，则P{|X-Y|≤1}的值为（）
A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16
10.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的泊松分布，则P{X+Y=2}的值为（）
A.(e^-2λ^2)/2!B.(e^-2λ^2)/3!C.(e^-2λ^2)/4!D.(e^-2λ^2)/5!
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
11.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X^2)的值为______。
12.设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则D(XY)的值为______。
13.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则E(XY)的值为______。
14.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，则E(X^2Y)的值为______。
15.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则E(X^2+Y^2)的值为______。
三、解答题（本大题共2小题，共40分）
16.设随机变量X和Y相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求P{max{X,Y}1/2}。
17.设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，求P{X-Y0}。
四、计算题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
16.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，随机变量Y服从参数为μ的指数分布，且X和Y相互独立。求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
五、证明题（本大题共1小题，共20分）
17.证明：如果随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，那么它们的乘积XY也服从正态分布，并求出其均值和方差。
六、应用题（本大题共1小题，共20分）
18.一批产品的次品率为0.1，现从这批产品中随机抽取10件进行检查，求：
（1）恰好有2件次品的概率；
（2）至少有1件次品的概率；
（3）至多有2件次品的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.A
解析：泊松分布的概率质量函数为P{X=k}=(e^-λλ^k)/k!，所以P{X=2}=(e^-λλ^2)/2!。
2.A
解析：由于X和Y都服从标准正态分布，它们的乘积XY也服从正态分布，均值为0，方差为1。所以P{XY0}=1/2。
3.B
解析：由于X和Y都服从区间[0,1]上的均匀分布，它们的乘积XY在[0,1]区间内，且P{XY1/2}=1/2。
4.B
解析：由于X和Y都服从参数为λ的指数分布，它们的乘积XY服从参数为λ/2的指数分布，所以P{XY}=1/2。
5.D
解析：由于X和Y都服从区间[0,1]上的均匀分布，P{min{X,Y}1/2}=1-P{min{X,Y}≤1/2}=1-(1/2)^2=1/4。
6.