2025年考研数学（一）概率与数理统计综合模拟试题集
一、选择题
要求：本部分共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X^2)的值为：
A.λ
B.2λ
C.λ^2
D.2λ^2
2.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P{|X-μ|≤σ}的值为：
A.0.6826
B.0.9544
C.0.9973
D.0.9977
3.若随机变量X～B(n,p)，则E(X)的值为：
A.np
B.np(1-p)
C.n(1-p)
D.1/(np)
4.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(1,1)，则E(X+Y)的值为：
A.0
B.1
C.2
D.3
5.设随机变量X～U(a,b)，则P{a≤X≤b}的值为：
A.1
B.2
C.b-a
D.1/(b-a)
6.若随机变量X～χ^2(n)，则E(X)的值为：
A.n
B.n-1
C.n/2
D.n/4
7.设随机变量X～T(n)，则E(X)的值为：
A.0
B.n/(n+1)
C.(n-1)/n
D.1
8.设随机变量X～F(n1,n2)，则E(X)的值为：
A.n1/n2
B.n2/n1
C.(n1+n2)/(n1n2)
D.n1/n1+n2
9.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，则D(X+Y)的值为：
A.σ1^2+σ2^2
B.σ1^2+σ2^2+2D(X)D(Y)
C.σ1^2+σ2^2+2σ1σ2
D.σ1^2+σ2^2-2σ1σ2
10.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则P{XY}的值为：
A.0.5
B.0.75
C.0.875
D.0.975
二、填空题
要求：本部分共10小题，每小题5分，共50分。
1.设随机变量X～B(5,0.4)，则P{X=3}的值为______。
2.设随机变量X～N(0,1)，则P{X≤0.5}的值为______。
3.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1,4)，Y～N(2,9)，则D(X+Y)的值为______。
4.设随机变量X～U(0,2)，则P{X≥1}的值为______。
5.设随机变量X～χ^2(4)，则P{X≤5}的值为______。
6.设随机变量X～T(5)，则E(X)的值为______。
7.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则P{XY}的值为______。
8.设随机变量X～F(2,3)，则E(X)的值为______。
9.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，则D(X+Y)的值为______。
10.设随机变量X～U(a,b)，则P{a≤X≤b}的值为______。
三、计算题
要求：本部分共3小题，共40分。
1.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求E(XY)。
2.设随机变量X～U(0,2)，求P{X^2≤1}。
3.设随机变量X与Y相互独立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，求D(XY)。
四、解答题
要求：本部分共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
4.设随机变量X～E(λ)，其中λ0，求随机变量Y=1/X的分布函数F_Y(y)。
五、证明题
要求：本部分共1小题，共20分。证明以下等式成立。
5.证明：若随机变量X与Y相互独立，且X～χ^2(n1)，Y～χ^2(n2)，则X+Y～χ^2(n1+n2)。
六、应用题
要求：本部分共1小题，共20分。应用概率统计知识解决实际问题。
6.某批产品的次品率为0.02，从该批产品中随机抽取100件，求：
（1）恰好抽到2件次品的概率；
（2）至少抽到3件次品的概率；
（3）最多抽到5件次品的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.答案：C
解析：泊松分布的方差等于其期望，即Var(X)=E(X)=λ，因此E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2。
2.答案：B
解析：标准正态分布的对称性告诉我们，在均值两侧各1个标准差内的概率大约是68.26%，因此P{|X-μ|≤σ}=0.6826。
3.答案：A
解析：二项分布的期望值是n*p，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率。
4.答案：C
解析：两个独立正态分布随机变量的期望值是各自期望值的和，因此E(X+Y)=E(X)