2025年考研数学（一）概率与数理统计经典题型专项试卷
一、选择题
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=2}=P{X=3}，则λ的值为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
2.若随机变量X服从标准正态分布，则P{X0}=（）
（A）0.5（B）0.25（C）0.75（D）1
3.设随机变量X～N(μ,σ2)，若P{X≤a}=0.8，则P{μ-2σ≤X≤a}=（）
（A）0.3（B）0.4（C）0.5（D）0.6
4.设随机变量X和Y相互独立，X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，则Z=2X-Y～（）
（A）N(μ?,σ?2)（B）N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)（C）N(μ?-μ?,σ?2+σ?2)（D）N(μ?+μ?,σ?2-σ?2)
5.设随机变量X～U[a,b]，则EX=（）
（A）(a+b)/2（B）a（C）b（D）a+b
6.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～χ2(1)，则P{XY≤1}=（）
（A）0.5（B）0.25（C）0.75（D）0.125
二、填空题
7.设随机变量X～B(n,p)，则DX=__________。
8.设随机变量X～N(μ,σ2)，则P{μ-σ≤X≤μ+σ}=__________。
9.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～χ2(1)，则Z=XY～__________。
10.设随机变量X～U[a,b]，则EX=__________。
三、解答题
11.设随机变量X～N(0,1)，Y～χ2(2)，且X和Y相互独立，求Z=√X+Y的分布函数F(z)。
12.设随机变量X和Y相互独立，X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，求P{|X-Y|≤1}。
13.设随机变量X～U[0,2]，Y～U[1,3]，求P{X+Y≤4}。
四、计算题
要求：计算下列概率。
14.设随机变量X～N(100,25)，求P{X≤90}。
15.设随机变量X～χ2(5)，求P{X≤7}。
16.设随机变量X～B(5,0.3)，求P{X≥2}。
17.设随机变量X～U[0,π]，求P{sinX≤1}。
18.设随机变量X和Y相互独立，X～N(0,1)，Y～U[0,1]，求P{X+Y≤1}。
五、证明题
要求：证明下列结论。
19.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X～N(μ?,σ?2)，Y～N(μ?,σ?2)，则Z=aX+bY也服从正态分布，并求出其参数。
20.证明：若随机变量X和Y相互独立，且X～χ2(1)，Y～χ2(2)，则Z=X+Y～χ2(3)。
六、应用题
要求：解决下列实际问题。
21.某批产品的次品率为0.1，现从该批产品中随机抽取10件，求抽取到至少1件次品的概率。
22.某班有30名学生，其中有20名男生和10名女生，现随机抽取3名学生参加比赛，求抽到的3名学生中至少有2名女生的概率。
23.某城市交通事故的发生率服从泊松分布，平均每天发生2起事故，求该城市某天发生3起或更多事故的概率。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B
解析：泊松分布的公式为P{X=k}=λ^k*e^(-λ)/k!，根据题目条件P{X=2}=P{X=3}，得到λ^2*e^(-λ)/2!=λ^3*e^(-λ)/3!，化简得λ=2。
2.A
解析：标准正态分布的对称性，即P{X≤0}=0.5。
3.C
解析：正态分布的对称性，P{μ-σ≤X≤μ+σ}=0.6826，约为0.5。
4.C
解析：随机变量线性组合的分布，Z=2X-Y的分布为N(μ?+μ?,σ?2+σ?2)。
5.A
解析：均匀分布的期望值计算公式，E(X)=(a+b)/2。
6.B
解析：独立随机变量的乘积的分布，XY～χ2(1+1)=χ2(2)。
二、填空题
7.np(1-p)
解析：二项分布的方差公式。
8.0.6826
解析：正态分布的对称性，P{μ-σ≤X≤μ+σ}=0.6826。
9.χ2(2)
解析：独立随机变量的乘积的分布，XY～χ2(1+1)=χ2(2)。
10.(a+b)/2
解析：均匀分布的期望值计算公式。
三、解答题
11.解析：Z的分布函数F(z)为F(z)=P{√X+Y≤z}，利用X和Y的分布函数求解。
12.解析：利用正态分布的性质，将P{|X-Y|≤1}转化为P{X≤Y+1}+P{Y≤X+1}。
13.解析：利用均匀分布的性质，计算X+Y在[1,4]区间的概率。
四、计算题
14.解析：查标准正态分布表，得到P{X≤90}=0.841