2025年考研数学（一）概率与数理统计历年真题专项模拟卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X^2)的值为（）
A.λ
B.λ^2
C.2λ
D.2λ^2
2.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则P{Xμ+σ}的值为（）
A.0.5
B.0.3173
C.0.6827
D.0.5-0.3173
3.设随机变量X～B(3,0.5)，则P{X=2}的值为（）
A.0.375
B.0.3125
C.0.25
D.0.125
4.设随机变量X～U(0,1)，则P{0.2X0.8}的值为（）
A.0.6
B.0.4
C.0.2
D.0.8
5.设随机变量X～N(0,1)，则P{|X|1.96}的值为（）
A.0.95
B.0.975
C.0.99
D.0.995
6.设随机变量X～P(λ)，则E(X)的值为（）
A.1/λ
B.1
C.λ
D.λ^2
7.设随机变量X～E(λ)，则E(X)的值为（）
A.1/λ
B.1
C.λ
D.λ^2
8.设随机变量X～χ^2(n)，则P{Xn-1}的值为（）
A.0.5
B.0.3173
C.0.6827
D.0.5-0.3173
9.设随机变量X～F(n1,n2)，则P{X1}的值为（）
A.0.5
B.0.3173
C.0.6827
D.0.5-0.3173
10.设随机变量X～T(n)，则P{|X|1.96}的值为（）
A.0.95
B.0.975
C.0.99
D.0.995
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1.设随机变量X～N(μ,σ^2)，则E(X)=______，D(X)=______。
2.设随机变量X～B(n,p)，则E(X)=______，D(X)=______。
3.设随机变量X～P(λ)，则E(X)=______，D(X)=______。
4.设随机变量X～U(a,b)，则E(X)=______，D(X)=______。
5.设随机变量X～N(0,1)，则P{X1.96}=______。
三、解答题（本大题共2小题，共25分）
1.设随机变量X～N(μ,σ^2)，求P{μ-2σXμ+2σ}。
2.设随机变量X～B(n,p)，求P{X=k}的表达式。
四、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1.设随机变量X～U(0,2)，求X的分布函数F(x)。
2.设随机变量X～N(0,1)，求P{X^21}。
3.设随机变量X～P(λ)，求E(X^3)。
五、应用题（本大题共1小题，共15分）
1.某批产品的次品率为0.03，现从这批产品中随机抽取10件，求：
（1）恰好有2件次品的概率；
（2）至少有1件次品的概率。
六、证明题（本大题共1小题，共15分）
1.证明：若随机变量X～N(μ,σ^2)，则Y=aX+b（a,b为常数）也服从正态分布，并求出Y的期望和方差。
本次试卷答案如下：
一、选择题
1.B
解析：泊松分布的期望和方差均为λ，因此E(X^2)=Var(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2=λ^2。
2.B
解析：标准正态分布N(0,1)的累积分布函数值为0.4772，因此P{Xμ+σ}=1-P{X≤μ+σ}=1-0.4772=0.5228。
3.A
解析：二项分布B(n,p)的概率质量函数为P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，代入n=3,p=0.5,k=2，得P{X=2}=C(3,2)*0.5^2*0.5^(3-2)=3*0.25*0.5=0.375。
4.A
解析：均匀分布U(a,b)的概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，对于0.2X0.8，概率为(0.8-0.2)/(1-0)=0.6。
5.B
解析：标准正态分布N(0,1)的累积分布函数值为0.975，因此P{X1.96}=1-P{X≤1.96}=1-0.975=0.025。
6.A
解析：泊松分布的期望和方差均为λ，因此E(X)=λ。
7.A
解析：指数分布E(λ)的期望和方差均为1/λ，