2025年考研数学（一）概率与数理统计专项强化训练试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为P{X=k}=λ^k*e^(-λ)/k!，其中k=0,1,2,...。若P{X=1}P{X=2}，则λ的取值范围是（）。
A.0λ1
B.1λ2
C.λ2
D.λ0或λ2
2.设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布。则随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)为（）。
A.F_Z(z)=1-e^(-λz)*e^(-μz)
B.F_Z(z)=1-e^(-(λ+μ)z)
C.F_Z(z)=1-(1-e^(-λz))(1-e^(-μz))
D.F_Z(z)=e^(-λz)*e^(-μz)
3.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P{|X-μ|σ}的值约为（）。
A.0.6826
B.0.9544
C.0.9973
D.0.9979
4.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的方差分别为D(X)和D(Y)，则D(X+Y)的值为（）。
A.D(X)+D(Y)
B.D(X)-D(Y)
C.D(X)*D(Y)
D.D(X)/D(Y)
5.设随机变量X服从均匀分布U(0,1)，则P{X0.5}的值为（）。
A.0.5
B.0.25
C.0.75
D.1
6.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的期望分别为E(X)和E(Y)，则E(XY)的值为（）。
A.E(X)*E(Y)
B.E(X)+E(Y)
C.D(X)+D(Y)
D.D(X)*D(Y)
7.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P{X=k}的值与k的关系是（）。
A.当k增大时，P{X=k}增大
B.当k增大时，P{X=k}减小
C.当k增大时，P{X=k}不变
D.当k增大时，P{X=k}先增大后减小
8.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X1}的值约为（）。
A.0.368
B.0.632
C.0.5
D.0.75
9.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的方差分别为D(X)和D(Y)，则D(X-Y)的值为（）。
A.D(X)+D(Y)
B.D(X)-D(Y)
C.D(X)*D(Y)
D.D(X)/D(Y)
10.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P{Xμ-σ}的值约为（）。
A.0.1587
B.0.3173
C.0.6826
D.0.9544
二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，其概率质量函数为P{X=k}=λ^k*e^(-λ)/k!，则E(X)的值为____。
2.设随机变量X与Y相互独立，且X服从正态分布N(μ,σ^2)，Y服从参数为μ的指数分布。则随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)为____。
3.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P{|X-μ|σ}的值约为____。
4.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的期望分别为E(X)和E(Y)，则E(XY)的值为____。
5.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P{X=k}的值与k的关系是____。
三、解答题（本大题共3小题，共40分）
1.设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为λ的指数分布，Y服从参数为μ的指数分布。求随机变量Z=X+Y的分布函数F_Z(z)。
2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，求P{Xμ+2σ}的值。
3.设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为μ的指数分布。求随机变量Z=X+Y的方差D(Z)。
四、简答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
1.简述随机变量的概率分布函数和累积分布函数之间的关系。
2.解释什么是随机变量的期望值，并说明期望值在概率论中的意义。
3.简述大数定律和中心极限定理在概率论中的应用。
4.解释什么是随机变量的方差，并说明方差在概率论中的意义。
5.简述如何通过随机变量的概率分布函数来计算随机变量取特定值的概率。
五、计算题（本大题共2小题，每小题20分，共40分）
1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P{X=2}的值。
2.设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y服从参数为1的均匀分布U(0,1)。求随机变量Z=X+Y的概率密度