2025年考研数学三概率论与数理统计专项训练题集
一、一元微积分
要求：掌握微分、积分的基本概念，熟练运用求导法则和积分方法。
1.已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，求\(f(x)\)和\(f(x)\)。
2.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)。
3.已知函数\(f(x)=e^{2x}-3x^2+1\)，求\(f(x)\)。
4.计算不定积分\(\int(2x^3-5x^2+3)\,dx\)。
5.求定积分\(\int_0^1(x^2+2x+1)\,dx\)。
6.求二阶导数\(\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\)。
二、线性代数
要求：掌握矩阵、向量、线性方程组的基本概念和解法。
1.已知矩阵\(A=\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求\(A^2\)。
2.已知向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\)。
3.解线性方程组\(\begin{bmatrix}21\\12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}\)。
4.判断矩阵\(\begin{bmatrix}11\\23\end{bmatrix}\)是否可逆，若可逆，求其逆矩阵。
5.已知向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\)。
6.求向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)在基\(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\}\)下的坐标表示，其中\(\mathbf{e}_1=\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{e}_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{e}_3=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\)。
三、概率论与数理统计
要求：掌握概率的基本概念，熟练运用概率计算公式，掌握随机变量、分布函数、数学期望等基本知识。
1.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，求抽到奇数的概率。
2.已知随机变量\(X\)的分布列为：
\[
\begin{array}{c|ccccc}
X12345\\
\hline
P0.10.20.30.20.2\\
\end{array}
\]
求\(E(X)\)和\(D(X)\)。
3.已知随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,0\leqx\leq1\\0,\text{其他}\end{cases}\)，求\(P(0.5X0.8)\)。
4.已知随机变量\(X\)的分布函数为\(F(x)=\begin{cases}0,x0\\\frac{1}{2}(x+1),0\leqx\leq2\\1,x2\end{cases}\)，求\(P(X1)\)。
5.已知随机变量\(X\)和\(Y\)独立，且\(X\)和\(Y\)的概率密度函数分别为：
\[
f_X(x)=\begin{cases}2x,0\leqx\leq1\\0,\text{其他}\end{cases},\quadf_Y(y)=\begin{cases}2y,0\leqy\le