2025年考研数学一概率论与数理统计强化试卷解析与实战技巧
一、概率论
1.设随机变量X的分布函数为:
F(x)={0,x0
x/2,0≤x1
1,x≥1
(1)求X的概率密度函数f(x);
(2)求P(X≤0.5);
(3)求X的期望值E(X);
(4)求X的方差D(X)。
2.设随机变量X与Y相互独立,且X服从参数为λ的泊松分布,Y服从参数为μ的指数分布,其中λ=1,μ=2。求以下概率:
(1)P(X+Y=2);
(2)P(X≥Y);
(3)P(X=0|Y1)。
二、数理统计
1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2),其中μ=10,σ=2。从总体中抽取一个样本,样本容量为n=16,样本均值为x?=11。求以下统计量:
(1)样本均值x?的分布;
(2)样本方差S^2的分布;
(3)样本均值x?与总体均值μ的差的分布;
(4)求P(10.5x?11.5)。
2.设总体X服从二项分布B(n,p),其中n=10,p=0.4。从总体中抽取一个样本,样本容量为n=5,样本均值为x?=3。求以下概率:
(1)P(X=3);
(2)P(X≥3);
(3)P(X≤2);
(4)求样本均值x?的分布函数F(x)。
三、随机向量
1.设随机向量X=(X1,X2)服从二维正态分布N(μ,Σ),其中μ=(1,2),Σ=\(\begin{bmatrix}10.5\\0.51\end{bmatrix}\)。求以下概率:
(1)P(X11,X23);
(2)P(X1+X2=4);
(3)P(X11|X2=2)。
2.设随机向量X=(X1,X2)服从二维均匀分布U([-1,1],[-1,1])。求以下概率:
(1)P(X1+X20);
(2)P(X1X2);
(3)求随机向量X的协方差矩阵。
四、参数估计
要求:根据给定的样本数据,完成以下参数估计问题。
1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2),其中σ^2=9。从总体中独立抽取一个样本,样本均值为x?=15,样本标准差为s=3。求总体均值μ的置信区间,置信水平为95%。
2.设总体X服从参数为λ的指数分布。从总体中抽取一个样本,样本均值为x?=5,样本容量为n=20。求参数λ的矩估计值和最大似然估计值。
五、假设检验
要求:根据给定的样本数据,完成以下假设检验问题。
1.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2),其中σ^2=25。从总体中独立抽取一个样本,样本均值为x?=10,样本容量为n=16。假设H0:μ=12,H1:μ≠12。使用α=0.05水平进行假设检验。
2.设总体X服从二项分布B(n,p),其中n=15,p=0.3。从总体中抽取一个样本,样本均值为x?=5。假设H0:p=0.3,H1:p≠0.3。使用α=0.10水平进行假设检验。
六、回归分析
要求:根据给定的样本数据,完成以下回归分析问题。
1.设样本数据如下表所示,其中x表示自变量,y表示因变量。使用最小二乘法拟合线性回归模型,并计算回归方程的系数和方差分析表。
x|y
---|---
1|2
2|4
3|5
4|7
5|9
2.设样本数据如下表所示,其中x表示自变量,y表示因变量。假设y与x之间存在非线性关系。使用最小二乘法拟合二次回归模型,并计算回归方程的系数和方差分析表。
x|y
---|---
1|1
2|4
3|9
4|16
5|25
本次试卷答案如下:
一、概率论
1.
(1)f(x)=\(\frac{1}{2}\),当0≤x1;
0,其他。
(2)P(X≤0.5)=F(0.5)=0.25;
(3)E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)dx=∫(0,1)x\(\frac{1}{2}\)dx=\(\frac{1}{4}\);
(4)D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=∫(-∞,∞)x^2f(x)dx-[\(\frac{1}{4}\)]^2=\(\frac{1}{6}\)-\(\frac{1}{16}\)=\(\frac{5}{48}\)。
2.
(