2025年考研数学一押题密卷（微积分必做）
一、选择题
要求：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，则\(f(x)\)的零点个数为（）。
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)等于（）。
A.1
B.2
C.0
D.不存在
3.已知\(\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}\)，则\(\int_0^1x^3dx\)等于（）。
A.\(\frac{1}{4}\)
B.\(\frac{1}{3}\)
C.\(\frac{1}{2}\)
D.\(\frac{1}{6}\)
4.设\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上连续，\(f(x)\)在区间\((0,1)\)内存在，且\(f(0)=1\)，\(f(1)=2\)，则\(\int_0^1f(x)dx\)等于（）。
A.1
B.2
C.3
D.4
5.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}\)等于（）。
A.5
B.3
C.0
D.不存在
6.设\(f(x)=x^2+2x+1\)，则\(f(x)\)等于（）。
A.\(2x+2\)
B.\(2x\)
C.\(x^2+2x\)
D.\(x^2+2\)
7.若\(\int_0^1\frac{1}{x}dx\)发散，则\(\int_0^1\frac{1}{x^2}dx\)（）。
A.发散
B.收敛
C.无法确定
D.需要具体分析
8.设\(f(x)=\lnx\)，则\(f(x)\)等于（）。
A.\(\frac{1}{x}\)
B.\(x\)
C.\(-\frac{1}{x}\)
D.\(x^2\)
9.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)等于（）。
A.1
B.0
C.-1
D.不存在
10.设\(f(x)=x^3-3x+1\)，则\(f(x)\)等于（）。
A.\(3x^2-3\)
B.\(6x-3\)
C.\(3x^2+6x-3\)
D.\(6x^2-6x+3\)
二、填空题
要求：本题共5小题，每小题10分，共50分。
1.设\(f(x)=\frac{1}{x}\)，则\(f(x)\)等于________。
2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)等于________。
3.设\(f(x)=x^2-3x+2\)，则\(f(2)\)等于________。
4.若\(\int_0^1\frac{1}{x}dx\)发散，则\(\int_0^1\frac{1}{x^2}dx\)（）。
5.设\(f(x)=\lnx\)，则\(f(x)\)等于________。
三、计算题
要求：本题共5小题，每小题10分，共50分。
1.计算下列极限：
（1）\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)
（2）\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}\)
2.计算下列不定积分：
（1）\(\intx^3dx\)
（2）\(\int\frac{1}{x^2}dx\)
3.计算下列定积分：
（1）\(\int_0^1x^2dx\)
（2）\(\int_0^1\frac{1}{x}dx\)
4.求下列函数的导数：
（1）\(f(x)=x^3-3x+1\)
（2）\(f(x)=\lnx\)
5.求下列函数的二阶导数：
（1）\(f(x)=x^2-3x+2\)