三、计算题与证明题
1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组
有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.
【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.
解方法一:.
(1)当时,方程组有惟一解;
(2)当时,方程组无解或无穷多解,此时
.
①当时,,方程组有无穷多解;此时
,
方程组的通解为为任意常数;
②当时,,方程组无解.
综上可得:
(1)当时,方程组有惟一解;
(2)当时,方程组有无穷多解;
(3)当时,方程组无解.
方法二:方程组的系数行列式.
(1)当时,方程组有惟一解;
(2)以下同方法一.
【注意】
(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:
①方程的个数等于未知数的个数;
②方程组的系数行列式含参数.
(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.
2.(1987—Ⅱ;1990—Ⅳ)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量.
【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.
解反证法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则
.
因为,所以线性无关,则.矛盾.
【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.
3.(1987—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵.
【考点】解矩阵方程.
解由
.
4.(1987—Ⅳ,Ⅴ)解线性方程组
【考点】求解非齐次线性方程组.
解.
由,令得方程组的通解
为任意常数.
5.(1987—Ⅳ,Ⅴ)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.
【考点】求矩阵的特征值及特征向量.
解,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为不为零的任意常数.
6.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知,其中
,
求及.
【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.
解.
.
【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式
.
7.(1988—Ⅰ,Ⅱ)已知矩阵与相似:
(1)求与;（2）求一个满足的可逆矩阵.
【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.
解(1)方法一:与相似,则,即
,
比较系数,得
.
方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故
.
【注意】方法一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.
(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为
.
令可逆矩阵,则.
8.(1988—Ⅳ)设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.
【考点】矩阵运算的性质.
解,所以
.
或 ,则
.
【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:
;
9.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设向量组线性无关,且
，
讨论向量组的线性相关性.
【考点】向量组的线性相关性的判别方法.
解方法一:设,即
.
因为线性无关,则,其系数行列式
.
(1)当为奇数,,方程组只有零解,则向量组线性无关;
(2)当为偶数,,方程组有非零解,则向量组线性相关.
方法二:显然
,
因为线性无关,则
(1)为奇数时,,则向量组线性无关;
(2)为偶数时,,则向量组线性相关.
【注意】
(1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便.
(2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.
10.(1988—Ⅳ,Ⅴ)设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.
【考点】含参数的线性方程组解的讨论.
解方法一:(一般情形)
.
(1)当时,方程组有惟一解;
(2)当时,,则
①当时,,方程组无解;
②当时,,方程组有无穷多解,且
,
则通解(一般解)为
为任意常数.*
综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.
方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.
(1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一.
11.(1988—Ⅴ)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.
【考点】抽象矩阵是求逆.
解由可逆,且.
12.(1989—Ⅰ,Ⅱ)问为何值时,线性方程组
有解,并求出解的一般形式.
【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.
解