数学方法在高中生物遗传学中的应用举例
1牛顿二项式定理在生物学科中的应用举例
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1665年提出。该公式为：（a+b）n=C0nanb0+C1nan-1b1+C2an-2b2+...+Cn-1a1bn-1+Cna0bn.
很明显，上述定理中的通项式为：T=Cran-rbr.r+1n
下面介绍利用上述通式解决遗传学相关计算问题。
【例1】弱智为隐性基因控制，正常杂合的双亲若有4个孩子，请回答：14个孩子均不正常的概率为多少？24个孩子均正常的概率为多少？33个正常1个弱智的概率是多少？答案与解析：假定双亲的基因型为Aa，则子女基因型AA、Aa、Aa，其比例为为1∶2∶1，正常与弱智的比例为（3∶1）于是各种情形之概率与（3/4正常+1/4弱智）4的各项展开式对应：
1全不正常：C04（3/4）0（1/4）4=（1/4）4=1/256;
2全部正常：C4（3/4）4（1/4）0=（3/4）4=81/256;
3431333个正常1个弱智：C（3/4）（1/4）=4×（3/4）1（1/4）=27/64.
【例2】（高考题改编）基因型为AaBbDdEeGgHhKk的个体自交，假定这7对等位基因自由组合，请回答：11对等位基因杂合、6对等位基因纯合的概率为多少？25对等位基因杂合、2对等位基因纯合的概率为多少？
答案与解析：含一对等位基因Aa的杂合个体，自交后代基因型为AA、Aa、aa，其中纯合体比例为1/2，杂合子比例也为1/2。
1对等位基因杂合，6对等位基因纯合的概率为：C17（1/2）1（1/2）6=7/128.
5对等位基因杂合，2对等位基因纯合的概率为：C57（1/2）5（1/2）2=21/128.
【例3】基因型为AaBb（不连锁）的个体自交得到的后代表现型比例是怎样的？
答案与解析：Aa与Aa杂交，子代基础型为AA、Aa、aa（1∶2∶1），即A（_3/4）、_a（a1/4）。
同理：Bb与Bb杂交，后代为B_（3/4）、bb（1/4）。
将，1/4代入二项式（a+b）n=（3/4+1/4）2
=（3/4）2+2×3/4×1/4+（1/4）2=9/16+6/16+1/16。
这说明双显个体A_B_所占比例为9/16，单显个体A_bb和aaB_各自占3/16，双隐个体占1/16。
2放大缩小原理在遗传学比例计算中的应用
在解答遗传学问题时，常要对配子比例、基因型比例、表现型比例进行分配。例如，Aa个体自交后代的基因型、表现型比例可以写成如图1所示。
第一种写法：
第二种写法：
上述第二种写法，其实就是在第一种算法基础上放大4倍的效果。这两种写法孰优孰劣，其实是因题而异，如果能在计算过程中恰当地选择其中一种写法，可以在一定程度上提升解题的速度和结果的准确性。
【例4】在一个生物种群中AA∶Aa=3∶4，若所有个体进行自由交配，其后代基因型比和表现型比分别为多少？
答案与解析：1方法一：分数形式（图2）。
由于雌雄配子比例一致，因此，可直接利用棋盘法，见表1。
2方法二：整数形式（图3）。
利用棋盘法计算结果见表2。
基因型AA∶Aa∶aa的比例为25∶10∶4;表现型显性∶隐性的比例为45∶4。两种方法都可以得到以上结果，但在直观性和简洁性上，整数形式要优于分数形式，而计算某种基因型概率时，分数形式则会显得更直接。
【变式】在一个生物种群中AA与Aa的比例为3∶4，若所有个体进行自由交配，a雌配子有1/3致死，其后代基因型比和表现型比分别为多少？
答案与解析：该题采用整數形式解题比较方便。原雌配子A与a的比例为5∶2，a雌配子有1/3致死，则雌配子A与a比例变为4∶（4/3），即15∶4。利用棋盘法计算结果见表3。
由表3可知，基因型：AA∶Aa∶aa的比例为75∶50∶8;
表现型显性∶隐性的比例为125∶8
如果上述情况，还采用分数形式表达，过程将变得非常繁琐。因此，遇到此类情况，棋盘法最好采用整数形式，并且在计算某种基因型的概率时也很简洁，如上述棋盘中Aa个体所占的比例的计算，总的后代个体数=（5+2）×（15+4）=133，而Aa为50，因此，后代中Aa个体的概率为50/133。
【例5】AaBb（两对等位基因不连锁）个体自交得到的F1中的所有双显个体，再分别自交，则它们的F2中各表现型比例为多少？
答案与解析：本题若采用常规算法，可以得出正确答案，但解题速度上较慢，如果采用如下方法，可快速得出答案。AaBb自交后代如图4所示。
双显个体的基因型有AABB、AaBB、AABb、AaBb，其比例为1∶2∶2∶4。
1不考虑前面系数直接写出后代表现型比（图5）。
2将后边后代个体总数统一成比例1∶2∶4。
未进行放大前，上述几种基因型自交后代个体总数比例为1∶4∶4∶16，很明