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福建省安溪第八中学2025届高三下学期最后一卷数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．若复数，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
3．“”是“函数在区间内存在零点”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．已知，则（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（???）
A． B． C． D．
7．已知随机变量，为使在内的概率不小于（若，则)，则的最小值为（????）
A．8 B．16 C．32 D．64
8．设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在的展开式中，下列说法正确的是（???）
A．常数项为120 B．各二项式系数的和为64
C．各项系数的和为1 D．各二项式系数的最大值为240
10．已知函数的定义域为，且对任意的非零实数x，y，都有，若，则（????）
A．
B．数列中不存在大于的项
C．数列为递减数列
D．
11．三棱锥中，，则（????）
A．三棱锥的体积为
B．三棱锥外接球的表面积为
C．过中点的平面截三棱锥外接球所得最小截面的半径为1
D．当时，的最小值为
三、填空题
12．已知，则的最大值为．
13．双曲线的左焦点为F，点，若P为C右支上的一个动点，则的最小值为．
14．已知正整数，欧拉函数表示、、、中与互质的整数的个数，例如，，，且、互质时，．若从、、、中随机取一个数，则满足的概率为．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线BD交AC于点D，．
(1)求；
(2)若，求的面积．
16．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
女生
25
合计
100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
(1)求；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
17．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)记的极小值为，证明：．
19．已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，的最大值为．
(1)求的方程；
(2)已知点，按照如下方式构造点，设直线为在点处的切线，过点作的垂线交于另一点，记的坐标为．
①证明：当时，；
②设的面积为，证明：．
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《福建省安溪第八中学2025届高三下学期最后一卷数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
A
C
B
B
C
B
BC
ABD
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设，，则.
故选：A．
2．A
【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解.
【详解】由题意.
故选：A.
3．A
【分析】由零点存在性定理确定的范围，再结合集合间包含关系即可判断.
【详解】由函数在区间内存在零点得，解得或
所以“”是“函数在区间内存在零点”的充分不必要条件，
故选：A
4．C
【分析】根据二次函数的单调与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】令，其对称轴方程为，
因为函数是正实数集上的减函数，
所以要想函数在上为减函数，
只需函数