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广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各量中是向量的为（????）
A．时间 B．体积 C．重力 D．密度
2．已知，若（为虚数单位）是纯虚数，则（????）
A． B． C．1 D．2
3．化简得（???）
A． B． C． D．
4．复数在复平面的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知向量若，则（????）
A． B．1 C． D．4
6．已知向量，，若，则（???）
A． B． C．4 D．9
7．在中，，则的面积等于（????）
A． B．2 C． D．
8．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在中，已知，，，则角的度数为（????）
A． B． C．30° D．
10．已知复数，以下说法正确的是（????）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
11．正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（???）
A．最大值为 B．最大值为1
C．最大值是 D．的最大值为
三、填空题
12．已知向量，则.
13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则．
14．已知为复数，且，则的最大值为.
四、解答题
15．已知i为虚数单位，计算以下各题：
(1)
(2)
16．已知向量，且．
(1)求的值；
(2)求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
17．（1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小；
（2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积.
18．锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若，求周长的取值范围.
19．如图，与存在对顶角，，，且.
??
(1)试指出点O在上的具体位置，并说明理由；
(2)若，求的长.
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《广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2024-2025学年高一下学期第一次段考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
C
D
C
C
AB
ABC
题号
11
答案
BC
1．C
【分析】根据向量的定义判断可得出结论.
【详解】由题意可知，时间、体积、密度都是数量，而重力是向量.
故选：C.
2．D
【分析】根据纯虚数的概念列方程求解可得.
【详解】因为（为虚数单位）是纯虚数，
所以，解得.
故选：D
3．A
【分析】利用向量的加法、减法法则求解.
【详解】.
故选：A
4．D
【分析】利用复数的几何意义可得出结论.
【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限.
故选：D.
5．C
【分析】根据即可得出，解出即可.
【详解】，∴
∴.
故选：C.
6．D
【分析】利用向量垂直的坐标表示的公式即可求解.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D
7．C
【分析】由余弦定理计算出边，再由面积公式计算即可得.
【详解】，
，
即，
解得或（舍），
，
，
.
故选：C
8．C
【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围.
【详解】由和，可得，
由正弦定理，，即，
因，故得，
因是锐角三角形，故，则有，从而，.
又由正弦定理，，
即得
于是
，
由可得，
则，故，
故的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题.
解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可.
9．AB
【分析】根据正弦定理计算求出角即可.
【详解】由正弦定理可得,
,
或
故选：AB.
10．ABC
【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD.
【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；
对于B，，B正