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广东省惠州市惠州中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则的最小值是（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．可以表示为(????)．
A． B． C． D．
3．复数是纯虚数，则（????）
A． B． C． D．
4．下表是离散型随机变量的概率分布，则（???）
1
2
3
4
P
A． B． C． D．
5．如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（????）
A． B．1 C． D．
6．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，现已知目标被击中情况下，则甲击中目标的概率为（????）
A． B． C． D．
7．某学校周一安排有语文、数学、英语、政治、历史、地理、体育七节课，要求体育课不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于非零向量，下列命题正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．已知圆，则下列结论正确的是（????）
A．的取值范围为
B．圆关于直线对称
C．若直线被圆截得的弦长为，则
D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11．已知在的二项展开式中，第项为常数项，则（????）
A． B．展开式中系数的绝对值最大的项是第项
C．含的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为
三、填空题
12．若样本数据的平均数为2，则数据，，，，的平均数为
13．函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为．
??
14．已知，则：被除的余数是．
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．已知函数，其导函数为，且.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
17．如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的大小．
18．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
19．已知函数，
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)设函数，讨论的单调性；
(3)设函数，若函数的图象与的图象有两个不同的交点，证明：
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《广东省惠州市惠州中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
B
D
D
B
A
BD
BD
题号
11
答案
ABC
1．C
【分析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选：C
2．C
【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒
【详解】＝，
故选：C﹒
3．C
【分析】先根据纯虚数的概念，得到，再利用齐次式法化简求值，将变形为，再分子分母同除以，再代入，求得答案.
【详解】由于是纯虚数，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了纯虚数的理解与应用，齐次式法化简求值，属于中档题.
4．B
【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以．
故选：B.
5．D
【分析】根据直观图确定原图形的形状和大小，由此可求其面积.
【详解】因为为等腰直角三角形，，，
所以，
所以对应的原平面图形如下，
其中，，
所以这个平面图形的面积,
故选：D.
6．D
【分析】应用对立事件概率求法及全概率公式、条件概率公式求目标被击中情况下甲击中目标的概率.
【详解】根据题意，设甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，
则，
，
则目标是被甲击中的概率为
故选：D
7．B
【分析】问题化为用个不同的元素填个空的问题，应用特殊元素法及排列数，求体育课排在第四节、体育课不排第四节两种情况下的排法数，即可得.
【