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黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数满足，则它的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．若非零向量、满足，且，则向量、的夹角为（????）
A． B． C． D．
3．中，角所对的边分别为，若，则（???）
A． B． C． D．或
4．已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（????）
A．9 B．13 C．15 D．18
5．中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（????）
A．64 B．74 C．52 D．91
6．已知向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
7．已知，均为单位向量，且满足，为，所在平面内的向量，，则的最大值为（????）
A．4 B． C． D．
8．在中，为线段上的动点，且，则的值为（）
A．12 B．8 C．4 D．1
二、多选题
9．若复数（为虚数单位），其中真命题为（????）
A． B．若，则
C．若，则 D．
10．下列说法中正确的有（???）.
A．若，则有两组解
B．在中，已知，则是等边三角形
C．若，则直线AP一定经过这个三角形的外心
D．若为锐角三角形，则，且
11．所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（???）
A．
B．延长交于点，则
C．若，且，则
D．若，则
三、填空题
12．已知向量，，，且，，则．
13．已知△的角的对边分别为且，若，，则.
14．已知正方形的边长为，，若，其中，为实数，则；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为.
四、解答题
15．已知向量，，，．
(1)求；
(2)若和的夹角为锐角，求的取值范围；
(3)求的最小值．
16．如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，．
(1)若为直径，求的长和四边形的面积；
(2)求四边形周长的最大值．
17．已知复数满足．
(1)求复数；
(2)，求；
(3)复数是关于的方程的一个根，求出方程的两个复数根．
18．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)求的取值范围；
(3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值．
19．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．
(1)若，求；
(2)若，且与的夹角为，求；
(3)若，，求的面积的取值范围．
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《黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
C
C
D
C
A
AB
AD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【详解】，
复数的虚部为．
故选：B．
2．B
【分析】由，求得，结合夹角公式即可求解；
【详解】设，
由，可得，
所以，
所以，又，
所以向量、的夹角为，
故选：B
3．A
【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可.
【详解】由题意，在中，则，所以，
因为，所以或，又，所以．
故选：A
4．C
【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
，
又因为A，B，C三点共线，所以，
即，
所以解得，．
故选：C．
5．C
【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.
【详解】在中，，
，，
在中，，
由，，
在中，m.
故选：C.
6．D
【分析】先利用计算，再利用投影向量的公式计算即可.
【详解】，，则，
得，
则在方向上的投影向量为.
故选：D
7．C
【分析】由题意可设分别是轴与轴正方向上的单位向量，，从而可得表示点到点的距离，利用圆的性质即可求解.
【详解】已知是两个单位向量，且，
设