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黑龙江省哈尔滨市东北三省精准教学2025届高三下学期5月联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B．且
C． D．或
2．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（???）
A． B．2 C．1 D．
3．记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（????）
A． B． C． D．
4．已知为锐角，，则（???）
A． B． C． D．
5．已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（???）
A． B． C． D．
6．为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（???）
A． B． C． D．
7．已知函数的部分图象如图所示，则（???）
A． B．1 C． D．
8．若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（???）
A．
B．的外接圆周长为
C．
D．
10．已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（???）
A．曲线C是中心对称图形
B．
C．满足的点P有2个
D．满足的点P有8个
11．已知函数，则（???）
A．函数仅有一个零点
B．若函数在点处与x轴相切，则
C．
D．若为增函数，则
三、填空题
12．在三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥外接球的半径为．
13．已知函数，则在点处的切线方程为．
14．互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为．
四、解答题
15．现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片．
(1)已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量；
(2)已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示）
16．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若是的两个极值点，且，求a的最大值．
17．如图，在棱长为5的正方体中，点E在线段上，满足与平面ACE交于点F．
(1)若，求线段EF的长度；
(2)已知四边形ACEF的周长为．
①求的值；
②求二面角的余弦值．
18．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合）
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为.
①求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
19．将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得．
(1)求；
(2)求证：是等比数列；
(3)求证：．
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《黑龙江省哈尔滨市东北三省精准教学2025届高三下学期5月联考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
A
C
B
B
ABD
ABC
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，所以，所以．
因为且，所以或，
所以或或
所以或．
故选：D．
2．B
【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解.
【详解】设，则，
所以，所以，所以．
故选：B．
3．C
【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果.
【详解】由，所以，故.
故选：C.
4．C
【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得解.
【详解】因为为锐角，