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湖北省（恩施高中、夷陵中学、郧阳中学）2025届高三下学期仿真模拟数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，，，则集合的真子集个数为（????）
A． B． C． D．
2．设复数，则（????）
A． B． C． D．
3．已知，且，则与的夹角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
4．某学生准备测量如图中某建筑物高度，选择高为50m的大楼进行测量，在大楼顶部处测得该建筑物的顶部的仰角为，底部的俯角为，则该建筑物的高度为（????）
A．m B．m
C．m D．m
5．直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（????）
A．个 B．个
C．个 D．个
6．要得到函数的图象，只要将函数的图象（????）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
7．函数的定义域为，且，，则（????）
A． B． C． D．
8．已知为坐标原点，已知双曲线的左右焦点分别为，过作的垂线交双曲线于，现将轴左侧的半平面绕轴旋转，原来的左焦点经旋转后得到点，求三棱锥的外接球表面积为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若正实数满足，则下列结论正确的是（????）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
10．已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（????）
A．当时，
B．点是底面上的动点，且，则最大值为
C．的中点到平面的距离为
D．与平面所成角的正弦值的取值范围为
11．下列不等关系中，正确的是（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．的展开式中的系数为．
13．若函数定义域为，则a的取值范围是.
14．抛物线的顶点为坐标原点，抛物线上两点满足：，过点作的垂线，垂足为，若点是圆的一个动点，则的最大值为．
四、解答题
15．在直三棱柱中，，，分别是的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面的夹角的余弦值．
16．已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
17．已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
18．某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康.该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.6，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3.为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为；前一天选择了B餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为，第二天选择B餐厅的概率为，如此往复.
(1)求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
(2)按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，记抽到男员工的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)设第n天选择A餐厅用餐的概率为，求；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
19．已知椭圆过点分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点（点在第一象限），是椭圆上异于的点，直线与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，求的取值范围；
(3)若直线和分别交椭圆于点，且直线的斜率为，求直线的斜率.
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《湖北省（恩施高中、夷陵中学、郧阳中学）2025届高三下学期仿真模拟数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
D
D
A
B
ACD
BD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数.
【详解】，，，
则集合的真子集个数为7个.
故选：C.
2