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湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应性考试（四）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
2．复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（????）
A．圆 B．双曲线的一支
C．椭圆 D．抛物线
3．已知，则（????）
A． B． C． D．
4．已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（????）
A． B． C． D．
5．在等差数列中，前项和为，若，则（???）
A．18 B．33
C．36 D．40
6．若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（???）
A． B． C． D．
7．在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下面说法正确的是（???）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
10．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（????）
A．平面 B．该石凳的体积为
C．，，，四点共面 D．点到平面的距离为
11．在光纤通信中，用光信号的不同强度或状态来代表二进制中的1和0，因此常用0和1组成的有序数组或1的形式表示信息，被称为一个长为的字，设分别为两个长为的字，令表示使的的个数，例如，则，则（???）
A．若，则
B．若，则满足，字长为5的字的个数为5
C．若，则满足，字长为6的字中有且仅有3个1相邻的字的概率为
D．若，则
三、填空题
12．已知抛物线的焦点为，是上异于原点的一点，过点的直线的方程为，设与轴交于点，则的值为.
13．4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有种．
14．在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为.
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
16．斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，.
(1)求四棱柱的体积；
(2)求平面与平面的夹角的正切值.
17．已知函数
(1)当时，求证：
(2)若对恒成立，求的取值范围.
18．在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
19．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）；
(2)某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数．
①若，求在个产品中至少有个次品的概率；
②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律?
(3)若，且，求的最大值（保留一位小数）．
参考数据：若，则一有，，；，，．
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