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吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则复数的共轭复数为（??）.
A． B． C． D．
2．已知向量，，设，，则与的夹角为（????）
A． B． C． D．
3．在中，，，满足此条件有两解，则BC边长度的取值范围为（????）
A． B． C． D．
4．在中，角所对的边分别为，是边的中点，，若，则边（??）.
A．16 B． C．4 D．8
5．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（????）
??
A． B． C． D．
6．结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（???）
A． B． C．90m D．
7．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（???）
A．若P为的重心，则 B．若P为的外心，则
C．若P为的垂心，则 D．若P为的内心，则
二、多选题
9．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（????）
??
A． B．四边形的周长为
C． D．四边形的面积为
10．已知向量，，则（????）
A．若，则
B．若，则
C．若取得最小值，则
D．若，则在上的投影向量为
11．在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（????）
A．
B．若，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
三、填空题
12．复数满足，则的最大值为.
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，，，则的值为．
14．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为；②设，则．
四、解答题
15．设复数，.
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求实数的值.
16．在中，，，，点，在边上且，.
(1)若，用，表示，并求线段的长；
(2)若，，求的值.
17．在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
18．如图，已知半径为2的扇形的圆心角为，为的中点，是上一动点．
(1)求的取值范围；
(2)当为的中点时，用表示；
(3)若，求的最大值．
19．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值；
(3)如图2，过点的直线与边分别交于点，设，；
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．
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《吉林省长春市十一高中2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
C
A
A
C
AD
ACD
题号
11
答案
AC
1．D
【分析】根据复数的模长公式以及复数运算求复数，即可得共轭复数.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
2．C
【分析】由条件结合向量坐标运算公式求，，再求，，，再结合向量夹角公式求结论.
【详解】因为，，
所以，
，
所以，，
，
设与的夹角为，
则，又，
所以，即与的夹角为.
故选：C.
3．D
【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解.
【详解】∵有两解，
∴，∴，
故选：D．
4．C
【分析】利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可.
【详解】因为，可知，
由余弦定理可得，
且，可得，
即，解得.
故选：C.
5．C
【分析】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案.
【详解】因为在正方形中，为的中点，为的中点，
所以
，
因为，所以，
所以.
故选：C
6