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江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，，则（????）
A． B． C． D．
2．设，为纯虚数，则（????）
A． B． C． D．3
3．已知向量，，若，则（????）
A． B．1 C． D．2
4．记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（????）
A．93 B．1023 C．2047 D．3069
5．一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（????）
A．6 B．12 C．24 D．48
6．若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（????）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某研究机构随机选取了100位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数，女生身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，下列判断正确的是（????）
A．女生身高和父亲身高正相关
B．女生身高和父亲身高不存在相关关系
C．已知父亲身高为，估计女儿的身高为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8985
10．已知函数，，则（????）
A．
B．
C．在上有3个零点
D．有3个零点
11．在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（????）
A．若是的中点，则
B．若在线段上，则
C．若，则的轨迹长度是
D．若，则不在面上
三、填空题
12．若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为.
13．心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要.
14．在中，若，则的最小值为.
四、解答题
15．已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的最小值.
16．如图，在三棱台中，平面，，.
??
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的正切值为2，求.
17．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在单调递减，求实数的取值范围.
18．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.
(1)求的分布列及数学期望；
(2)求的通项公式；
(3)证明：.
参考公式：若，是离散型随机变量，则.
19．在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线与交于，两点.
（i）是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：；
（ii）记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
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《江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
C
D
B
C
AC
BCD
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】先求并集，再求补集即可.
【详解】，，则，
又，则.
故选：B.
2．A
【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解.
【详解】依题意，，而，
则，解得.
故选：A
3．D
【分析】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可.
【详解】因，，则，，
由可得，解得.
故选：D.
4．B
【分析】先求出，从而得到的值，相加即可.
【详解】的首项为，故，
所以，，，，
故.
故选：B
5．C
【分析】根据排列的意义结合排列数的计