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山东省青岛市2024-2025学年高三下学期第三次适应性检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若集合，，则（????）
A． B． C． D．
3．若随机变量，，则（????）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（????）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象关于点中心对称，则（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数的定义域为，，，则（????）
A． B．0 C．1 D．2
8．若，，则（????）
A．1 B． C． D．0
二、多选题
9．某学校组织全体学生参加了文创大赛，随机抽取了400名学生的成绩进行统计，得频率分布直方图（如图），则（????）
A．图中的值为0.020
B．该样本中成绩在区间内的学生有160人
C．估计全校学生成绩的平均数约为86.5
D．估计全校学生成绩的分位数约为95
10．已知椭圆的上顶点为，左、右焦点分别为，，为正三角形，过的直线与交于，两点，则（????）
A．椭圆的离心率为
B．的最大值为3
C．的取值范围是
D．当倾斜角为时，的周长为8
11．已知两个无公共点且半径为1的球，若在两球球面上各存在两点，使得这四点恰为某正四面体的四个顶点，则（????）
A．该正四面体棱长可以为2 B．该正四面体棱长可以为
C．两球球心间的距离可以为 D．两球球心间的距离的最大值为
三、填空题
12．若，，则．
13．已知正三棱台，，，，则该正三棱台的体积为．
14．已知，，，，从集合中选取个不同元素相乘，将这些乘积的和记为，则的整数部分为．
四、解答题
15．某家超市连续5天的广告支出（万元）与销售额（万元）的数据如下：
第天
1
2
3
4
5
广告支出
2
4
5
6
8
销售额
20
30
60
60
80
(1)从这5天中随机抽取3天，记销售额不少于60万元的天数为，求的分布列及均值；
(2)已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．
附：经验回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
16．在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，．
(1)求的通项公式；
(2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和．
17．如图，已知底面是正三角形，平面，平面，．
(1)若，是中点，证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18．已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、．
(1)求的方程；
(2)求的外接圆的标准方程；
(3)若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程．
19．是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意的，都有；
②存在常数，使得对任意的，，都有．
(1)若，，证明：；
(2)若，，证明：；
(3)若，数列满足，，证明：．
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《山东省青岛市2024-2025学年高三下学期第三次适应性检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
C
A
C
A
BD
ACD
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】根据复数的除法运算法则，求出复数z，即可求解.
【详解】由，得，
所以复数z在复平面内对应的点为，
所以对应点位于第四象限.
故选:D.
2．A
【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系.
【详解】因为集合,，则
.
故选：B
3．B
【分析】由二项分布的方差公式列方程求得，再由二项分布的概率求法求概率.
【详解】由题设，可得，
所以.
故选：B
4．C
【分析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公