四川川省江油中学2022级高三下期三诊考前热身训练
数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合，则（）
A. B. C. D.
2.已知向量，，，若，，则（）
A. B. C. D.
3.若实数数列：，a，b，m，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（）
A.2 B. C. D.
4.直三棱柱中，分别是和中点，则异面直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
5.已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（）
A. B. C. D.
8.设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.某高中举行数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（）
A.考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B.考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C.分数在区间内的频率为0.2
D.用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
10.已知复数满足，则下列说法正确的是（）
A. B.
C.若，则 D.若，则
11.设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则下列说法正确的有（）
A.点在上
B.将在轴上方的部分看作函数的曲线，则是的极小值点
C.在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为有理数
D.在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中含的项的系数是______．
13.通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时．
14.已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2018年到2024年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如下：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
不低于600分的人数y（单位：人）
29
33
36
44
48
52
59
（1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2025年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数；
（2）今有A、B、C三位同学报考该校，已知A、B被录取的概率均为，C被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此3人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：．
参考数据：，．
16.记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，.
（1）求；
（2）若，求线段的长.
17已知数列满足，（），记．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数取值范围．
18.已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）当时，设的两个零点为，求证：．
19.如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．
①若，求直线与平面所成角的正弦值；
②证明：三棱锥的体积为定值．