2025高三适应性全真模拟考试
数学试题
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（）
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.
【详解】因为，
所以其虚部为，故C正确.
故选：C.
2.已知等差数列的前项和为，且，，则（）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，求出公差及，进而求出.
【详解】在等差数列中，由，得公差，
又，即，解得，
所以.
故选：A
3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的公式可求投影向量.
【详解】向量在向量方向上的投影向量为，
故选：A.
4.计算：（）
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式化简即可．
【详解】因为，
所以，
所以
，
故选：D．
5.在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解．
【详解】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高，．
，，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图），由得，
因为，，所以方程无实数解；
因此在的延长线上（如图），即在平面下方，
因此有，解得，
所以球表面积为．
故选：D．
6.记曲线：，若直线与曲线相切，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程确定曲线，并画出曲线与直线的示意图，根据相切关系，数形结合及点线距离列方程求参数值.
【详解】当，，则，
当，，则，
当，，则，
当，，则，
显然，直线的斜率为，如下图示，
则原点到直线的距离，所以.
故选：C
7.已知函数，则函数在区间上的零点个数为（）
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】C
【解析】
【分析】先发现其关于原点对称，再利用奇函数的定义判断为奇函数，利用奇函数的性质得到，再利用二倍角公式将化简为，合理构造函数，利用导数得到当时，，进而解出在的两个零点，再利用奇函数的性质得到在上也有两个零点，最后汇总零点个数求解即可.
【详解】由题意得，其关于原点对称，
因为，所以为奇函数，则，
因为，所以由二倍角公式得，
化简得，
令，则，易得，
当时，得到在上单调递减，
则，故，
则令，可得，得到，
解得，或，故在上有两个零点，
由奇函数的性质可得在上也有两个零点，
综上，共有5个零点，故C正确.
故选：C
8.已知函数，当时，，则的取值范围是（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分三种情况恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参.
【详解】函数，当时，，
当时，，符合题意；
当时，函数，不符合题意；
当时，函数恒成立，所以恒成立，
因为，所以恒成立，
所以恒成立，即得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，
令，恒成立，
因为，当且仅当时取最小值4，
所以，符合题意；
则的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（）
A.焦点到抛物线的准线的距离为8
B.
C.若的中点的横坐标为3，则
D.若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解.
【详解】抛物线的焦点为，准线，，
所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误；
设
当直线垂直于轴，可得，
所以,得
当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，
则，，
，B正确；
对于C，由的中点的横坐标为3，可得：，