高三年级第三次练兵考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在复平面内，复数对应的点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义及复数的运算求解即可.
【详解】依题意可知，
所以，
故选：A
2.曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【详解】由已知，
则，
即切线斜率，
又，
所以切线方程为，
即，
故选：D.
3.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解三角不等式求出集合再求交集可得答案.
【详解】，
因，则.
故选：B.
4.展开式中常数项是（）
A.20 B.15 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】写出展开式的通项公式，再令得，再代入通项公式即可得答案.
【详解】根据题意，的展开式的通项公式，
令，解得，
所以常数项为.
故选：D
5.已知分别为的三个内角的对边，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理，由角化边，得到，再根据余弦定理求出.
【详解】根据已知条件，得，
，
，
,
故选：C.
6.已知抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，过点作的垂线，垂足为，若，且点在直线上，则直线的斜率为（）
A.或 B.或 C.1或 D.或
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，准线为，设，由题意得点坐标，再根据点在直线上，由斜率公式求出，得到直线的斜率即可.
【详解】由题意，，准线为，
设，则，
由于，则为的中点，即，
又点在直线上，
则，解得，则.
故选：B.
7.若为函数的零点，则（）
A.0 B.1 C.2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数可得在上无零点，当时，由，可得，即，两边取对数可得结论.
【详解】当时，，求导得，
令，可得，当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增，所以，
又，所以在上无零点，
当时，。
令，得，得，即，
因为为函数的零点，则，两边取对数得，
所以.
故选：C.
8.在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球体积最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为是以点为直角顶点直角三角形，所以的外接圆圆心是的中点，所以外接球的球心与中点的连线垂直面,再使用余弦定理列出方程，根据运动过程中角的范围，求出外接球半径的范围，得出答案.
【详解】
如图，设三棱锥的外接球球心为，取的中点,连接，
因为是以点为直角顶点的直角三角形，所以的外接圆圆心是点，
则由球的性质可知，平面，
设外接球半径为,
是边长为的等边三角形,是以点为直角顶点的等腰直角三角形,
,
在中勾股定理可知,
则在中利用余弦定理可得，
,，则，得，
所以的最小值为1，外接球体积最小值为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数的图象关于点中心对称，则（）
A.在区间上单调递增
B.在区间上的最大值为1
C.直线是曲线的对称轴
D.当时，函数的图象恒在函数的图象上方
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据对称中心求出函数解析式，结合选项余弦函数的单调性及值域对称轴逐个验证即可.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，即，；
因为，所以，即.
令，由可得，
因为，所以函数在区间上不是单调函数，故A不正确；
令，由可得，所以，
所以当，故B正确，
，所以函数的图象关于点对称，直线不是曲线的对称轴，故C不正确；
当时，函数，，；
当时，函数，
所以，函数的图象恒在函数的图象上方，故D正确.
故选：BD.
10.有一组成对样本数据，设．由这组数据得到新成对样本数据．利用一元线性回归模型，根据最小二乘法，下列结论一定正确的是（）附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．相关系数，决定系数（其中）．
A.两条经验回归直线都过点 B.两条经验回归直线的截距相同
C.两组数据的相关系数相同 D.两组数据的决定系数相同
【答案】CD
【解析】
【分析】对A，根据回归直线经过样本中心点，求出新成对样本数据的样本中心点判断；对B，利用公式求出回归直线的截距判断；对C，利用公式求新成对样本数据的相关系数比较即可；对D，利用公式求新成对样本数据的决定系数，可