2024-2025学年度（下）高三年级第九次模拟考试
数学试卷
考试时间：120分钟分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-11题58分）
第二部分：非选择题型（12-19题92分）
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知集合，则的子集的个数是（）
A.4 B.8 C.16 D.32
2.已知复数z满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
3.若命题p：，命题q：直线与抛物线无公共点，则q是p的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量，则向量与的夹角为（）
A B. C. D.
5.已知等比数列前项积为，且，那么数列的公比为（）
A. B. C. D.
6.已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）
A. B. C. D.
7.若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
8.已知正实数、满足，，则（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分．）
9.已知函数（，为常数），且函数为奇函数，则下列结论正确的是（）
A.的最小正周期为
B.
C.与图象有相同的对称轴
D.当时，方程有且仅有4个实根
10.如图，在圆柱中，轴截面是边长为2的正方形，是以为直径2的圆上一动点（异于点），与圆柱的底面圆交于点，则（）
A.平面
B平面平面
C.直线与直线有可能垂直
D.三棱锥的外接球体积为定值
11.已知函数，则下列说法正确的有（）
A.若函数关于直线对称，则
B.当时，函数在上单调递减
C.当时，函数在有1个极值点
D.函数最多有3个零点
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共l5分．）
12.已知，则______．
13.已知多项式，则___________.
14.已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，记双曲线C的左、右焦点分别为，且，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点．记和的内心分别为M，N，则M，N的最短距离为______．
四、解答题（本题共5小题，15题13分，16，17各15分，18，19各17分，共77分．）
15.在中，角、、的对边分别为、、，．
（1）求；
（2）若的面积为，且，求的周长．
16.如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得.
（1）证明：平面平面；
（2）线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17.设函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值和最小值.
18.为了检测某种抗病毒疫苗免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.
（1）填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
0.1
0.05
0.005
0.001
2.706
3.841
7.879
10.828
19.已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为、是面积为的正三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
（3）求四边形面积的取值范围.