2025届高三全真模拟4数学学科试题
时间：120分钟分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.2
2.设复数满足，则虚部为（）
A. B. C. D.2
3.已知向量，若，则（）
A. B.
C. D.
4.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（）
A1 B.2 C.4 D.8
6.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A?B?C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）
A.6种 B.8种 C.12种 D.48种
7.记为数列前项之积，已知，则（）
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，且，则（）
A. B.
C.无最小值，只有最大值为4 D.的最小值为12
10.如图，为圆锥底面圆直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（）
A.圆锥的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.圆锥外接球体积为
D.若，为线段上的动点，则的最小值为
11.已知函数，则下列说法正确的是（）
A.，
B.的对称中心为
C.过原点有两条直线与图象相切
D.若有两个极值点，，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
13.设函数在上的值域为，则的取值范围是______.
14.已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16.佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
17.如图，在空间几何体中，已知均为边长为2的等边三角形，平面和平面都与平面垂直，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18.已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
（1）判断是否为“超导函数”，并说明理由；
（2）若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”；
（3）已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
19.已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为.
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.