2025届高三全真模拟4数学学科试题
时间：120分钟分值：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出.
【详解】对于不等式，因式分解可得.
所以集合或.?
已知集合，
在集合中，满足或元素只有，所以.?
故选：C.
2.设复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再根据复数的除法运算求出，由虚部的定义即可求解.
【详解】因为，
所以.
所以虚部为.
故选:C.
3.已知向量，若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4.设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
5.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（）
A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】B
【解析】
【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为，
所以，设双曲线方程为，且，
将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)，
则双曲线的实轴长为，故B正确.
故选：B
6.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A?B?C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）
A.6种 B.8种 C.12种 D.48种
【答案】D
【解析】
【分析】
由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数.
【详解】游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，
1、3个景点选一个先游览有种选法，2种进出方式，故有种；
2、2个景点选第二个游览有种选法，有2种进出方式，故有种；
3、最后一个景点有2种进出方式；
∴综上，一共有种.
故选：D
【点睛】本题考查了分步计数原理，利用分步乘法求总计数，属于基础题.
7.记为数列的前项之积，已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到是公差为2的等差数列，进而得到，再求出即可．
【详解】因为，故2），故，
故，所以是公差为2的等差数列，
因为，所以，
所以，所以．
故选：C．
8.如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得，再根据二倍角的正切公式即可求出，最后结合的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案.
【详解】由题意得，，，
则直线所对的倾斜角为，
，即，则，
则，
，，，
又因，，
则，结合，
解得，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，且，则（）
A. B.
C.无最小值，只有最大值为4 D.的最小值为12
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件，结合不等式性质、基本不等式及相关幂函数单调性判断各项正误即可.
【详解】由，则，又，即，同理，A对；
由，且，显然时，B错；
由上分析知：且，结合的单调性知：，C对；
由，当且仅当时等号成立，D对.
故选：ACD
10.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（）
A.圆锥的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.圆锥外接球体积为
D.若，为线段上的动点，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值.
【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误；
B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确；
C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确；
D.若，则是等腰直