2025届高品质高中高考科研卷
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、准考证号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知向量，若向量满足，且，则（）
A. B. C.1 D.2
3.已知函数在区间单调递增，则取值范围是（）
A. B. C. D.
4.若二项式的展开式中存在常数项，则的最小值为（）
A.1 B.3 C.5 D.6
5.若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（）
A. B. C.5 D.10
6.已知函数及其导函数的定义域均为，记.若是奇函数，且，则（）
A. B. C.2 D.
7.已知是双曲线：的左焦点，直线过且与的一条渐近线平行，与交于点，若（为原点），则的离心率为（）
A. B.2 C. D.
8.图1是某长方体建筑，图2长方体是该建筑的直观图，点在的延长线上，是垂直于地面的测量标杆，高为.现测得长为，在处测得点的仰角为，点的仰角为，则建筑物的高为（）（单位：）
A B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知是虚数；且，则（）
A. B.
C. D.
10.记的内角，，的对边分别为，，，为边的中点，则下列说法正确的是（）
A.若，则是等腰三角形
B.若，则是直角三角形
C.若，则是锐角三角形
D.若，则是钝角三角形
11.已知是曲线：上一点，设，连接，得到线段，记其长为，则（）
A.关于轴对称 B.到直线的距离不小于
C.当时， D.当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
12.一组样本数据2，5，6，7，8，10，11，的中位数为，则________.
13.设正六棱锥底面中心为，若该棱锥的侧棱均与以为球心，半径为1的球相切，则该棱锥体积的最小值为________.
14.已知函数，若存在，使得，则的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知数列满足，.
（1）证明：数列等比数列；
（2）记的前项和为，证明：.
16.学校从甲、乙、丙三人中选拔一人参加市中学生围棋比赛，选拔规则如下：三人进行单循环赛（任意两人都比赛一场），每场比赛只有胜、负两种情形，胜者得分，负者得分；积分最多的人代表学校参赛，积分相同时采用简单随机抽样确定参赛选手.已知甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，丙胜甲的概率为.
（1）求甲积分的概率分布列及数学期望；
（2）求甲代表学校参加比赛的概率.
17.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，经过的平面分别交，于，两点.
（1）证明：平面；
（2）若二面角的大小为，求四棱锥的体积.
18.已知椭圆：的离心率为，下顶点为，点在上，过中点的直线（与直线不重合）交于，两点，其中在直线的左侧.
（1）求的方程；
（2）若，，，四点共圆，求直线的方程；
（3）设直线与交于点，求面积的最大值.
19.若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，.
（1）若正实数，满足，且，求的最大值；
（2）若代数式为二元轮换式，比较与1的大小；
（3）若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值.