2024—2025学年高三年级（下）第一次全真模拟考试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
2已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3.双曲线的离心率为（）
A. B. C.2 D.
4.半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（）
A B. C. D.
5.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（）
A.1 B.3 C.2 D.4
6.在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（）
A. B. C. D.
7.已知a，且，，，则（）
A. B. C. D.
8.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知实数，，满足，，则（）
A. B. C. D.
10.已知随机变量，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
11.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（）
A.
B.线段的中点和线段的中点的连线与轴平行
C.以点为顶点的四边形可能为等腰梯形
D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知等比数列的前项积为，若，则______．
13.被10除的余数为______.
14.已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知椭圆C：焦距为，离心率为.
（1）求C的标准方程；
（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
16.某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为.
（1）求与的样本相关系数；
（2）从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数.
附：①回归方程中：
②样本相关系数
③若，则
④
17.如图，四棱锥中，底面四边形为凸四边形，且，，．
（1）证明：；
（2）已知平面与平面夹角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18.已知.
（1）证明：是奇函数；
（2）若，证明在上有一个零点，且.
19.欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式唯一的.对于任意正整数，记为的所有正因数的个数，为的所有正因数的和.
（1）若数列，求数列的前项和；
（2）对互不相等的质数，证明：，并求的值.