2024—2025学年高三年级（下）第一次全真模拟考试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知复数满足，则的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法运算可得答案.
【详解】由，得，
所以，其虚部为．
故选：C．
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合，判断的元素是否在集合中，可得.
【详解】因为，又，故，
易验证0，1，2均是的解，所以，所以．
故选：B．
3.双曲线的离心率为（）
A. B. C.2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据离心率定义直接计算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
4.半径为4的实心球与半径为2的实心球体积之差的绝对值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由已知条件和球的体积公式分别直接计算出实心球和实心球的体积，再用大实心球体积减去小实心球体积即可得解.
【详解】由题意可知实心球体积为，实心球体积为，
所以实心球与实心球体积之差绝对值为.
故选：A.
5.铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（）
A.1 B.3 C.2 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可；
【详解】
取的中点，连接（图略），则
．
因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，
所以，所以．
故选：B.
6.在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦定理及三角形面积公式即可求解．
【详解】因为，
所以，
所以，
又为锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以为等边三角形，
所以的面积为．
故选：D．
7.已知a，且，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设可得，结合二倍角的正弦及平方关系、商数关系可得，
最后利用两角和的正切可得正确的选项.
【详解】因为，故，
而，
所以，
故选：D.
8.已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解.
【详解】令，则，
所以当时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，又，所以的值域为，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
又当时，恒成立，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9已知实数，，满足，，则（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】应用不等式性质判断A,B,变形应用基本不等式求和的最小值判断C,D.
【详解】因为，，所以，，的符号不确定，
对A，当时，不成立，故A错误；
对B，由，，得，B正确；
对C，，，所以，当且仅当时取等号，故C正确；
对D，由，得，，故，
当且仅当，即时等号成立，故D错误．
故选：BC．
10.已知随机变量，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正态分布的图象及正态分布的对称性来求解即可．
【详解】由随机变量，
得，，，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．
故选：ABD．
11.已知抛物线的焦点到准